群論について

質問

ジョージァイの「物理学におけるリー代数」を読んでいるのですが既約・可約・完全可約表現について質問です。

この本によると可約表現とは不変部分空間をもつ表現で、そうでないものが既約表現。既約表現の直和で表される表現あるいはそれに同値な表現を完全可約と書いてありました。
それを踏まえてパリティ変換を元とする群(Z_2)には「既約表現が２つしかない」という記述があったのですが、これは明白なことですか？

どのように考えて得られた結論なのかわからないのですが、その表現は自明な表現とD(e)=1，D(p)=-1の２つらしいです。

わからないのは
(1)既約表現が２つしかないというのは何故言えるのか。

(2)具体的にその2つの既約表現をどのように求めるのか。

(3)表現が与えられた時にそれが既約か可約か具体的にどのように確かめることができるのか。

の３点です。（そもそも自明な表現では既約・可約が定義できるか疑問ですが）

回答No.4

eclipse2maven · ベストアンサー

行く＝移す　　写像ですから

もう一つは、

既約　かつ　D(g)=1　（すべての　g）　が　正しい定義です

回答No.3

eclipse2maven

＞#1での
＞>従って　単位元は１にいくから　もう一つの元は　2乗して単位元なので　±１
＞という文章が主語や目的語が抜けているのか分かりにくかったので。初学者なのでその辺を文脈で補完することができない＞のです。わがままかも知れませんがご理解下さい。

ごめんなさい、日本語がまずくて、

ただ、　群の凖同型写像は　単位元を単位元に移し　いまは　Z_2　から　Rー｛０｝　　だから　Z＿２の単位元は１にいくとは、なかなか書くのはしんどくて。。。

ただ、このへんが読めないとなると、群論をすこし勉強された方がいいと思うんですが、群の凖同型定理や正規部分群は必要だとおもいます。

自明な表現というのは、　既約表現で考えてますから　1次元です。　（すべての群Gの元が　恒等写像に移るので、既約だったら、必然的に一次元になります。）

補足

回答有難う御座います。

>1にいく
とはどういう意味でしょうか？

>ただ、このへんが読めないとなると、群論をすこし勉強された方がいいと思うんですが、
その群論を勉強し始めて分からないところが出てきたので質問したんですが、まだ私には理解出来ない問題のようです。

>自明な表現というのは、　既約表現で考えてますから　1次元です。　（すべての群Gの元が　恒等写像に移るので、既約だったら、必然的に一次元になります。）
私が読んでいる教科書とは論理が逆な気がしますね。#2の補足と最初の質問に書いた定義だけからは言えませんか？
Schurの補題などはもっと後で出てきますし軽く読み流すところかもしれないという気がしてきました。もし知識を先取りしないと無理なら先に進もうと思います。一応納得はしたいので#2の補足に書いた最後の質問にYES/NOで答えていただけませんか？

回答No.2

eclipse2maven

こまったなあ　余計難しくなるかも

Vを有限次元線型空間とすると
GL（V）　は　VからVへの全単射な線型写像　（平たく言えば　dim V =n なら　n次の正則行列全体）
普通　一般線形群という　GL(n) とも書く

群Gの有限次元表現とは　Gから　GL（V）への凖同型写像のこと

1次元表現とは　n=1 をいう
GL（１）は　数だから（今　Rー｛０｝　にしておきましょう）

ρ ： Z_2 --> GL(1) とすると

単位元は　必ず　単位元にいくのは凖同型の性質　　　１＝ρ（１）=ρ(ー1＊ー1)＝ρ（ー１）＊ρ（ー１）
従って　ρ（ー１）＝±１

1次元表現が既約なのは、1次元より小さい部分線型空間は｛０｝しかないから。

シューアの補題は　既約表現のintertwiner は　スカラー作要素になるという補題、　Aが　ntertwinerなら、一個、固有値とって　AーλI　も　　intertwiner よって　この写像の　Kernel も　G-不変なので　Vの部分表現
、だから　既約性より　kaernel は　｛０｝かV自身　　固有べくトルがあるので　｛０｝でないから　V

従って　A＝λIになる

あとは　ρ（g）　（g∈G）　自身　アーベル群の時はintertwinerになるので、　スカラー作用素になる
だから　ｄｉｍ V =1

( intertwiner f : V--> V って　f・ρ(g)=ρ(g)・f　がすべてのg∈G　で成り立つ　線型写像fのこと）

あとは、自分で頑張ってね（＾＾）。　　リー群・リー環への道はまだ遠いかも。。。

補足

回答有難う御座います。

せっかく回答しただけたのに申し訳ないのですが、「丁寧に」とは「厳密に」とか「正確に」という意味ではなく、日本語として丁寧にという意味です。

#1での
>従って　単位元は１にいくから　もう一つの元は　2乗して単位元なので　±１
という文章が主語や目的語が抜けているのか分かりにくかったので。初学者なのでその辺を文脈で補完することができないのです。わがままかも知れませんがご理解下さい。

それと教科書では自明な表現とはD(g)=1という意味で書いてあったのですが、これだと次元は任意にとれる気がするのですが、これは正確な定義ではないということですか？

回答No.1

eclipse2maven

シューアの補題より
アーベル群の既約表現は　1次元

従って　単位元は１にいくから　もう一つの元は　2乗して単位元なので　±１　
1次表現が既約なのは自明

補足

回答有難うございます。

>従って　単位元は１にいくから　もう一つの元は　2乗して単位元なので　±１
すみません。日本語が理解できません。群論は初めてなのでもう少し丁寧にお願いします。

>1次表現が既約なのは自明　
私にとっては自明ではないので説明していただけないでしょうか？