上極限、下極限が理解できません

質問

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。

例
X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の１つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

回答No.1

funoe · ベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。ｎは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「ｎが大きい時（というか初めからだけど）１を超えることはない」
「１付近の値を何回も（無限回）とる」
から１が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
（極限の意味でです。∀ε>０に対し上極限＋εより大きくならないってことです）

この例では下極限はー１ですね。

（sin(n)－１）＊ｎ　の場合だと、
上極限は０で、下極限は「なし」（－∞）となりますね。

お礼

ありがとうございます。
おかげさまで理解することができました。
下極限の方は「ずっと先のほうでは、下極限の値より小さくならない」ということですね。