無限というのがわからないです・・・

質問

極限で、1/nをlim n→∞にしたら限りなく0に近づくから0にすると先生にいわれたのですが本当に0にしていいのかが疑問です。
100/nも1000000/nも323434453555/nもlim n→∞にしたら0にしようということですよね？計算はわかるんだけど数学的にこれは厳密さに欠けるのではないかと悩んでいて、気になってほかのことをしたくない状態です。ほかに∞/∞とか意味わからないし、そもそも∞とは何なんだろう。小さいころ、大きい数を言ったほうが勝ちという勝負で、「じゃあおれ∞」「じゃあ私は∞+1」「じゃあ俺は∞+１億」とか言ってましたがそのときは∞に興味は無かったですが今になって∞とはなにかと気になりました。どなたかアドバイスをください

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

>100/nも1000000/nも323434453555/nもlim n→∞にしたら0にしようということですよね？
>計算はわかるんだけど数学的にこれは厳密さに欠けるのではないか

質問者さんの引っかかっている原因は∞の扱いだけでなく、極限limに対する
理解不足もあるように思います。確かに
lim[n→∞]100/n=0
lim[n→∞]1000000/n=0
ですが、これは『限りなく近づいていく先が0だ』と言っているだけです。
考えられるどんな大きな数よりもさらに大きな数でそれぞれを割れば
0との距離がどんな小さな正の数より小さくなると言っているだけで
100/nは決して0にはなりません。0にかけて100になる数字はありません。

だから相変わらず0との距離があるわけですが、その距離は上の2つでは
絶えず10000倍の差があります。よって両者が等しくなることもありません。
100/nが1000000/nより絶えず先を進んでいます。そしてlim関数で行き先を
聞くとどちらも『目的地は0だ』と返答してくるのです。(決して行き着きませんが)

回答No.6

noname#221368

極限とは何か？とか、連続や無限とは何か？とかには直接応えませんが、自分も「無限とは何か？」については、ずいぶん考えました。
　決して、満足できる応えではないと思いますが、次のURLを紹介します。我田引水で申し訳ありませんが、自分の記事です。

　でも「無限とは何か？」という問いかけについては、個人的には面白くてしょうがありません。こういうマニアもいるんですよ・・・。

　　・http://www.junko-k.com/collo/collo184.htm の No.1485

参考URL：

http://www.junko-k.com/collo/collo184.htm

お礼

回答ありがとうございます

回答No.5

kabaokaba

極限ってのは「向かっている先」のことであって
途中経過は無関係です．
ずーーっと一点に向かっていれば極限は存在します．

東京から大阪に向かう．向かってる途中は大阪ではない．
しかし「今どこに向かってる？」と聞かれれば「大阪」
新幹線使おうが，在来線だろうが，飛行機だろうが，無関係．
大事なのは「ある程度以上の時間が立てば，
目的地にそれなりに近づく」ことが保証されること．

厳密性を求めるのであれば，すでに指摘があるように
εδ論法というのを勉強してください．
本屋に行けばかなりの種類の説明本があります．
つまりそれだけ「厄介」だということ．

回答No.4

mina5

数学の考えはlim n→∞にしたら限りなく0に近づく。
というのは、そういうちかづく行為をやりおえた後の状態を考えている
のです。
神様がいて、そういうちかづく行為をやりおえた後は、ゼロに収束していますよね。
数直線上の０以外の数にはならない。ｎをある番号から大きくすれば、
０のまわりにどんなｅをとても小さい任意の数として、（－ｅ，ｅ）のバリアをはっても、その中へ入る。
それが極限の意味です。
これらの考えは、ガロアより前に生まれたフランスのコーシーという
数学者のデルターイプシロン論法という方法で大学では学びます。

回答No.2

Vwiyoonn

多分、質問者さんは高１か２くらいなんだろうと思うので、がんばって易しく説明してみます。
　まず∞は、わたしたちが日常で使うような数とはまるきり異なったもので具体的な数を超越した概念なんです。ですから、具体的にどれだけ大きな数を想定しても∞はそれよりもはるかに大きいのです。たとえば、発散する級数（もしかしたらまだやってませんか？）の和はどう考えても具体的な数などよりははるかに大きく∞としかいいようがないのとおなじです。
　だから、1/nの極限は無限の彼方においては限りなく０へと近づいてゆき、０とみなしていいまでになるわけです。

　で──、質問者さんのように無限に１足したり無限を無限で割ってみたりしたらどうなるのか？　と考えた物好き…偉大な数学者がいました。カントールです。
　で、彼はその奇妙な計算をどのようにしようと考えたのかは以下のリンクを。
　http://kamakura.ryoma.co.jp/~aoki/paradigm/Mugen.htm
　なんだかだまされているような気がしますが、数学の世界では時折こういう考え方をしたりするんです。数学って結構面白いでしょ…というか数学者が面白いというか。

回答No.1

koko_u_

>今になって∞とはなにかと気になりました。どなたかアドバイスをください
無限とは「有限でない」ことを表すための空想上の生物です。

世の中の実体としては、林檎の個数は結局の所、有限だし、
滑らかに見えるテーブルも原子のレベルでは継ぎ接ぎだらけです。

しかしそのようなリアルな実体を扱うのはしばしば非常に面倒かつ煩雑です。
そこで「いつまでも尽きることのない林檎」や「究極的に滑らかなテーブル」を想定することで議論を単純化しているのです。