導関数！！

質問

「一般にa,bが定数でa≠0であり、nが自然数のとき
y=(ax+b)のn乗=aのn乗・(x+b/a)のn乗　なのでこの関数は
y '=aのn乗・n(x+b/a)のn-1乗=an(ax+b)のn-1乗　であることがわかりこの結果はa=0のときを含めて正しい。」と参考書にかいてあったのですが、結果がa=0のときなりたっても、もとの式でa=0がなりたたないのだからだめなのではないでしょうか？？？　　教えてください！！！

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

y=(ax+b)^n=a*(x+b/a)*n…(1)
y '=a^n*n(x+b/a)^(n-1)=an(ax+b)^(n-1)…(2)　
結論から言うとかまいません。
ここで何をしたいのかというと、y=(ax+b)^nを微分したいのです。
まず、微分をするために、最初にa≠0の場合を求めてみたのです
そして、y'をもとめると(2)となったのです。
ちなみに、a≠0としたのは(1)でaをくくり出す(こうすることで求めやすくなる)ためにaで割る必要があったからです。
しかし、まだ、a=0のときの微分を求めていませんのでa=0のときも求めます。
a=0のとき
(1)にa=0を代入して、y=b^n(定数)だからy'=0となります。
ここで終わってもいいのです。ですが…

(2)にa=0を代入しみると、y'=0*n*b^(n-1)=0
となります。ということはa=0のときもa≠0という条件で求めた式がたまたま成り立っていたのです。だから、a=0のときに成り立つのにわざわざa≠0とする必要はありません。だから、a≠0という条件をはずしたのです。
分かりました?

補足

「＊」は何をあらわしているんですか？すみません・・パソコン初心者なんです・・

回答No.4

eatern27

#2です。訂正です。
＞y=(ax+b)^n=a*(x+b/a)*n…(1)
y=(ax+b)^n=a*(x+b/a)^n…(1)と
直して下さい。
＞「＊」は何をあらわしているんですか？
これは掛け算の「×」の意味です。
Ａ×ＢをＡ*Ｂと書くのです。
数学の「×」と同じで省略できます。(省略しといた方が分かりやすかったかな?)

最初の1行目で間違えていたために、混乱させてしまったようで、すいません。

回答No.3

oshiete_goo

ある結果, 今の場合は
y'=an(ax+b)^(n-1) ・・・(*)
は,もともとはa≠0の時という条件つきで求めた形です.
ところが, (*)の結果そのものはa=0でも(偶然)成り立っているので,
a≠0のときとa=0のときをまとめて例外なく(*)の1つの式で表せる...というのが参考書の主張です.

ここが数学ができるようになるかどうかの分かれ目なのですが,
なるべく例外なく統一的に扱えた方が便利だし,審美的な意味でも望ましい
(例外だらけでつぎはぎだらけの結果よりも美しい!)
という感覚が理解できるようになれば, どうしてまとめて書く方が自然なのかがすんなりと理解され, 上達も早まるでしょう.
断片的な事実を知るだけでは不十分で, (数学的に自然な)発想そのものを理解するのが一番良い勉強です. (#1さんのアドバイスもそういう意味です.)

回答No.1

kony0

よく言えば素直、悪く言えば頭が固い・・・

「y=(ax+b)^n⇒y'=an(ax+b)^(n-1)」という命題は
「a≠0の条件をはずしても」真ですよ、という意味ではないでしょうか？