２次関数

質問

Q.ｙ＝－３ｘ二乗とｙ＝ａｘ＋ｂ(a＞０)について、－１≦ｘ≦２のときｙの変域が同じになるようにaとｂの値を定めなさい。

A.(a＝)４　(ｂ＝)-８

どうも２次関数が苦手みたいで・・
詳しい解説おねがいします。

回答No.2

Tarow1 · ベストアンサー

パソコンでの累乗の書き方ですが、^という記号を使います。例えば、「xの二乗」なら、「x^2」と書きます。
以下、回答をなるべく丁寧に書いていると長くなってしまいましたが、頑張って読んでください。

さて、問題には２つの式がありますが、まずは数字が決まっている方（y=-3x^2）の値域を考えます。
だいたいで良いので、グラフを書いてみてください。上に凸（上に出っ張った形）で、原点を通る曲線です。y=-x^2より急にした感じです。
そして、－１≦ｘ≦２という条件がありますので、曲線上のx=-1とx=2のところに点を打っておいてください。
では、「x=-1とx=2のときyは何か」を調べてみます。
それを調べるには、y=-3x^2にx=-1とx=2を代入すれば良いだけです。
x=-1を代入すると、y=-3×(-1)^2=-3
x=2を代入すると、y=-3×2^2=-12
では、先ほど曲線上に打った点の、x=-1の方には「y=-3」と、x=2の方には「y=-12」と書き添えておきましょう。
ここで、曲線の、x=-1のところからx=2のところまで、目で追ってみてください。
曲線が一番高くなるときyはいくつか、曲線が一番低くなるときyはいくつかが分かりますね。一番高くなるのは原点(0,0)で、一番低くなるのは右端の点(2,-12)になるかと思います。
ということは、yの値域は-12≦y≦0と分かりました。

では、いよいよy=ax+bのaとbについて考えます。
a>0となっていますので、y=ax+bの傾きは正（グラフに書くと右肩上がり）です。
-1≦x≦2のとき-12≦y≦0になる右肩上がりの直線は、グラフに書くとどうなりますか？考えてみてください。
(-1,-12)と(2,0)を結ぶ直線が、その条件を満たすと分かりますね。
では、y=ax+bに、x=-1,y=-12と、x=2,y=0を代入してみましょう。
すると、連立方程式 -12=-a+b と 0=2a+b が得られ、答え通りのaとbが分かりますね。

お礼

詳しい解説、ありがとうございました<(_ _)>
次からは、二乗を^2とあらわすようにします。

とてもわかりやすかったので
補足も必要ありません(^O^)

またお願いしますね。

回答No.3

ferien

Q.ｙ＝－３ｘ二乗とｙ＝ａｘ＋ｂ(a＞０)について、－１≦ｘ≦２のときｙの変域が同じになるようにaとｂの値を定めなさい。

ｙ＝－３ｘ二乗のグラフも必ず原点を通ります。ｘ二乗の係数が、負（－３＜０）のときは、

今度は、ｙ＝０が最大になる上に凸のグラフになります。

－１≦ｘ≦２から、ｘ＝－１とｘ＝２のときのどちらのｙの値が小さいか調べます。

ｘ＝－１のとき、ｙ＝－３・（－１）＾2＝－３
ｘ＝２のとき、　ｙ＝－３・２＾2＝－１２　　よりｙ＝－１２が最小

ｙの変域は、－１２≦ｙ≦０　です。　

ｙ＝ａｘ＋ｂ(a＞０)　は、a＞０から右上がりのグラフになります。ｘが増加するに従ってｙも増加します。

だから、ｘの変域－１≦ｘ≦２の場合、ｙの変域と見比べると、
ｘ＝－１のときｙ＝－１２、ｘ＝２のときｙ＝０に対応します。

それぞれもとの１次関数の式に代入すると、－１２＝－ａ＋ｂ、０＝２ａ＋ｂ

この連立方程式を解きます。

回答No.1

asuncion

＞ｙ＝－３ｘ二乗

これは、原点を頂点とする、上に凸な放物線です。
y軸を対称軸として、左右対称です。ということは、xの値の絶対値が大きくなるほど、つまり、
y軸（x=0）から遠く離れるほど、yの値は小さくなる（yの変域が広くなる）ことを意味します。

-1≦x≦2
の範囲にx=0を含んでいますので、この範囲におけるyの最大値は放物線の頂点そのものです。
また、上記の議論により、yの最小値はxの値がy軸から最も離れた時点（x=2）となります。

よって、
yが最大値を取るのはx=0のとき
yが最小値を取るのはx=2のとき
となります。具体的にどういう最大値や最小値を取るかはご自分で計算してください。

さて、放物線と直線のyの変域が同じになる、ということは、
-1≦x≦2
の範囲において、yの最大値や最小値が先ほど求めた値と同じになる、ということです。
直線の傾きが正である、という条件から、右上がりの直線であることがわかります。
ということは、その直線においては、xが増えれば増えるほどyも増える、ということです。
つまり、x=-1のときのyの値が最小で、x=2のときのyの値が最大である、ということです。
最小値や最大値は先ほど求めていますので、本問は、
2点(-1, 先ほど求めた最小値), (2, 先ほど求めた最大値)を通る直線の傾きとy切片を求める、
という問題に帰着します。

2点を通る直線は一意に定まります。
直線の方程式y=ax+bに、当該の2点のx座標とy座標を代入し、
a, bに対する連立一次方程式を作ります。
これを解けば、aとbが求まります。