２次関数

質問

Q.ｙ＝－３ｘ二乗とｙ＝ａｘ＋ｂ(a＞０)について、－１≦ｘ≦２のときｙの変域が同じになるようにaとｂの値を定めなさい。

A.(a＝)４　(ｂ＝)-８

どうも２次関数が苦手みたいで・・
詳しい解説おねがいします。

回答No.1

asuncion

＞ｙ＝－３ｘ二乗

これは、原点を頂点とする、上に凸な放物線です。
y軸を対称軸として、左右対称です。ということは、xの値の絶対値が大きくなるほど、つまり、
y軸（x=0）から遠く離れるほど、yの値は小さくなる（yの変域が広くなる）ことを意味します。

-1≦x≦2
の範囲にx=0を含んでいますので、この範囲におけるyの最大値は放物線の頂点そのものです。
また、上記の議論により、yの最小値はxの値がy軸から最も離れた時点（x=2）となります。

よって、
yが最大値を取るのはx=0のとき
yが最小値を取るのはx=2のとき
となります。具体的にどういう最大値や最小値を取るかはご自分で計算してください。

さて、放物線と直線のyの変域が同じになる、ということは、
-1≦x≦2
の範囲において、yの最大値や最小値が先ほど求めた値と同じになる、ということです。
直線の傾きが正である、という条件から、右上がりの直線であることがわかります。
ということは、その直線においては、xが増えれば増えるほどyも増える、ということです。
つまり、x=-1のときのyの値が最小で、x=2のときのyの値が最大である、ということです。
最小値や最大値は先ほど求めていますので、本問は、
2点(-1, 先ほど求めた最小値), (2, 先ほど求めた最大値)を通る直線の傾きとy切片を求める、
という問題に帰着します。

2点を通る直線は一意に定まります。
直線の方程式y=ax+bに、当該の2点のx座標とy座標を代入し、
a, bに対する連立一次方程式を作ります。
これを解けば、aとbが求まります。