Σ（組合せ）の計算

質問

Σ（n!/x!*（n-x）!）：Σはx=0～x=n
の回答が分かりません
1+n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/3+・・・+n(n-1)(n-2)/3+n(n-1)/2+n+1
までは解けたのですが、最終的にはもっと美しい式で表現することができるのではないかと思っています。
ご教示お願いいたします。

回答No.3

age_momo

知っていれば簡単なんですが、知らないとこの式からまとめるのは
難しいかもしれません。ほんと、n=1,2,3,4あたりまで計算してみるのが
一番でしょうね。

ところで
S[n]=Σ[0,n]（n!/x!*（n-x）!）
とすると
S[n+1]-S[n]
を計算してみると

一般項では
(n+1)!/(n+1-x)!x! - n!/(n-x)!x!=n!/(n+1-x)!x!{(n+1)-(n+1-x)}
=n!/(n+1-x)!(x-1)!=n!/{n-(x-1)}!(x-1)!

　1　+　(n+1)　+　(n+1)n/2　+　(n+1)n(n-1)/3!+・・・ +(n+1)n(n-1)/3!+(n+1)n/2+(n+1) + 1
-)1　+　n　　　+n(n-1)/2　+　n(n-1)(n-2)/3!+・・・　+n(n-1)/2 +　　　　n+　　　1
_________________________________________________________________________________________________________
　0　+　　1　　 +n　　　　+n(n-1)/2 ・・・　 n(n-1)(n-2)/3! + n(n-1)/2 +n +1

結局、

S[n+1]-S[n]=S[n]
S[n+1]=2S[n]

であることが分かります。とすると一般項が求められると思います。

回答No.2

zk43

２項展開の式(a+b)^nから、a,bにある数を代入してみると分かります。
あるいは、n=1,2,3,4あたりまで実際の値を計算してみると、規則性が
すぐに見えてきます。
あるいは、意味からすると、n!/x!*（n-x）!はn人からx人を選ぶ選び方
の総数なので、Σ（n!/x!*（n-x）!）は、n人から0,1,2,…,n人選ぶ
選び方の総数それぞれの和、つまり、n人をA,Bのグループに分ける（0
人も認める）仕方の総数であり、各人に0,1を割り振る組み合わせの総
数とも考えられる。（0が割り振られたらAグループ、1が割り振られた
らBグループ）

回答No.1

koko_u_

試しに小さい n で計算してみるのだ。