乗除の余りの応用問題です

質問

3で割ると2余り,5で割ると4余る3桁の自然数で最小の数を求めよ
という問題になるのですが

解説では15x7-1=104と書いてあるのですが
15x7というのは前回教えていただいのでわかるのですが
-1というのがどうして出てくるかがわかりません

わかる方よろしく願いします。

回答No.11

take_5

先の解が分らないようじゃ、この方法も到底理解できないだろうが、普通はこのように不定方程式を使って解く。

求める整数をＮとすると、Ｎ＝3x＋2＝5y＋4.‥‥(1)　　(1)のx、yの特別解を各々α、βとすると、3α＋2＝5β＋4　‥‥(2)である。
(1)－(2)より　3（x-α）＝5（y-β）。3と5は互いに素から、mを整数として、x-α＝5m、y-β＝3mと表せる。
そこで、αとβの具体値を求めると、（α、β）＝（4、2）。従って、x＝5m＋4、y＝3m＋2.
(1)より、Ｎ＝3x＋2＝5y＋4＝3（5m＋4）＋2＝15m＋14＝15（m＋1）-1.　‥‥(3)　←　-1は、ここの事。（yを計算しても、結果は同じ）
100≦Ｎ≦999に　(3)を代入すると、6≦m≦65　‥‥(4)
Ｎ＝15m＋14を(4)の範囲で考えると、Ｎは傾きが正のmの一次関数からm＝6で最小、m＝65で最大。計算して、104≦Ｎ≦989。

回答No.10

diab

この問題は特殊なものだと思います。
割る数と余りとの差が同じなので質問者様がお書きになった回答ができると思います。割る数と余りの差が異なる場合は回答者の方々がお書きになっている不定方程式で解く方が良いと思います。判断がつかない場合は、不定方程式で解くと確実に答えが出ると思います。

回答No.9

akira47

3で割ると2余りより、3a+2
5で割ると4余るより、5b+4此が等しいことから、
3a+2=5b+4従って、3a=5b+2此処で、３，５でくくれるように考える。５の倍数から、３の倍数を引いて２が出るようにする。
3a=5b+2の両辺に３を加えます。
3a+3=5b+5即ち、3(a+1)=5(b+1)となります。
３と５は互いに素より、a+1=5A,b+1=3Aと置けます。a,b,Aは整数。よって、a=5A-1此を元の式に戻すと、3a+2=3(5A-1)+2=15A-1此が３桁より、
999>=15A-1>=100即ち、1000>=15A>=101を満たす最小のAは７です。
求める数は、3a+2=15A-1=15・7-1となります。
此により、－１が出てくる理由です。

回答No.8

take_5

＞少しは頭を使いなさいとありますが考えずにすぐ聞いてわけではありせん。僕は約4時間この問題で悩んでいます

時間の問題じゃない。4時間掛けようが、自分の頭は使っていない。
数学は暗記科目じゃない、思考の科目だ。
きっと理解せず、暗記を繰り返してきたのだろう。そんな頭で4時間掛けても無駄。

今からでも、考え方を変える事。さもなければ，この先，絶望になる。

回答No.7

koko_u_

>解説をみたり、アドバイスいただいて、これはこういうもんだと
>覚えるしか学習方法がないのです。

そういった「学習」しかこれまでしてこなかったということですね。
はっきり言って学ぶことの楽しみを放棄していると言えます。

本当は小学生くらいの段階で学ぶ楽しみを経験するべきなのですが、
今からでも遅くはないので、発見的な学習方法を経験すると後々役立つでしょう。

回答No.6

koko_u_

>書き連ねて共通する数字が29ということが解ったのですが
>答えを導けませんでした。
もっといっぱい書くんだ。29だけではないことがわかるでしょう。

すると段々「共通点」を見出すことができるでしょう。

その推測を裏付けることができるかもしれない。

まあ、わかんない時はこんな感じで四苦八苦しましょう。
解説を眺めていても進歩しないよ。

お礼

夜分遅くにご意見どうもありがとうございます。

思考力が乏しいのか数学学習障害なのか判らないのですが
僕には
解説をみたり、アドバイスいただいて、これはこういうもんだと
覚えるしか学習方法がないのです。

回答No.5

diab

3と5の最小公倍数は15でこれに7を掛けたものが3と5の公倍数の中での3桁の最小になります。この数から1を引くのは余り2と余り4を出すためのものです。ある数を3で割って2余る為には3の倍数から1を引かなくてはなりません。また、5で割って4余るには5の倍数から1を引かなくてはなりません。よって、3と5の公倍数から1を引くと二つの条件を満たすことになります。

お礼

夜分遅くに回答ありがとうございます
やっと納得がいきました。

これで気持ちよく明日を迎えられます

回答No.4

take_5

解説が理解できなければ、自分で考えたら？　解説ばかり頼りにしないで、少しは頭を使いなさい。
少しは自分で考える習慣をつけないと進歩しない。

本来なら“不定方程式”を使うとこだが、整数問題は苦手のようだから、整数問題の基本“調べる”でやってみよう。

求める整数をＮとすると、xとyを正の整数として、Ｎ＝3x＋2＝5y＋4と表せる。‥‥(1)
3x＋2≧100、5y＋4≧100.であるから、x≧33、y≧20.
xを33、34、‥‥としていくと、yも整数となるのはx＝34、この時y＝20.
従って、Ｎ＝3x＋2＝5y＋4＝3*34＋2＝5*20＋4＝104.

お礼

回答ありがとうございます。

せっかくの回答申し訳ないのですが
元よりも難しくて全く理解できせんでした。

補足

全く理解できせんでした。

すいません
[ま]が抜けてました

ちなみに
少しは頭を使いなさいとありますが
考えずにすぐ聞いてわけではありせん
僕は約4時間この問題で悩んでいます。

回答No.3

koko_u_

>5と3の公倍数が15で
なぜ突然公倍数が出てきているのですか？
その「目論見」が理解できていますか？

「こんな問題が出たら公倍数を求める」というような「理解」では不十分です。

まずは 3 で割ると 2 余る数と 5 で割ると 4 余る数を書き連ねて、
両者を満たすのはどのような場合かを自ら考えましょう。

補足

回答ありがとうございます

書き連ねて共通する数字が29ということが解ったのですが
答えを導けませんでした。

回答No.2

kukineko

求める数Ｘとすると
３で割ると２余る→３の倍数に１足りない
５で割ると４余る→５の倍数に１足りない
つまり
Ｘ＋１は３でも５でも割り切れると言うことです。
そこで３と５の公倍数中もっとも小さい３桁の自然数（Ｘ＋１）を
求めればＸの値がでますよね。

何故１引いたのかも判るのではないでしょうか？？