二次関数

質問

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

関数y=x^2-2tx+t^2-2t (0≦x≦2)の最小値が11になるような正の定数tの値を求めよ。
という問題がわかりませんでした。。

y=(x-t)^2-2tに式を変形したのちすごく悩みましたがわかりませんでした。一様、t＜1 t=1 t＞2 と場合わけしてみましたが、、、だめでした

よろしくお願いいたします。教えて下さい。

回答No.2

fukuda-h · ベストアンサー

[一様、t＜1 t=1 t＞2 と場合わけしてみましたが・・・]
とありますがこれが間違いです。
最小値ですから0≦x≦2の範囲にグラフの軸が入っているか入ってないかで場合分けすればいいでしょう。
つまり、ｔ≦0のとき、0≦ｔ≦2のとき、2≦ｔのときの３つの場合で考えるといいです。グラフを書いてみるといいでしょうね。
ｔ≦0のときのときはx＝0のとき最小値t^2-2t ですね
0≦ｔ≦2のときは最小値は-2t
2≦ｔのときはx＝２のとき最小値t^2-6t+4
これらを＝11と置いて解いて、場合わけの条件に適するものが解です。
ここはなかなか難しい所ですからグラフがどんなふうに書けるのかいろいろやってみるといいですよ。ポイントはグラフは下に凸、軸が動く、最小値は何処にあるか？を考える事ですが、軸が定義域 (0≦x≦2)内にあるかないかがぽんとでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
とても参考になりました！
おかげさまでできました。

回答No.3

noname#160321

最初に、
y=(x-t)^2-2t
は下に凸なので、極小値が最小値になるかどうか調べます。
-2t=11、t=-5.5、これでは極小値は(0≦x≦2)の範囲に入っていません。
ですので、最小値は単調増加か、単調減少の範囲にある訳です。なので(0≦x≦2)の端だけ調べればいい訳です。
x=0の時に最小となるならy=t^2-2t=11、t^2-2t-11=0
これは解があります。
(t-1)^2-12=0 t-1=+2√3、-2√3。
x=2の時に最小ならy=4-4t+t^2-2t=t^2-6t+4=11、t^2-6t+4-11=0
(t-3)^2-9-7=0、t-3=+4,-4
これらのうちyを最小にするものを捜せばいいのです。

お礼

ありがとうございました！
おかげさまでできました！

回答No.1

koko_u_

>t＜1 t=1 t＞2 と場合わけしてみましたが
場合に分けれていない。そしてそのように「分けた」理由を補足にどうぞ。

お礼

すみません。。
xの係数が-の場合の最大値の方法を求めてしまったんだと思います。。
ごめんなさい。