「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の概念について

質問

フーリエ級数について勉強しているのですが、
「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。

(1)
「区分的に連続」な関数の私のイメージは
周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、
なのですが、どこか不十分でしょうか？

(2)
「区分的に滑らか」な関数とは、
「その関数が区分的に連続、かつ１階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、
「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、
これは正しいでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか？
が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node4.html
のようなモノです。

「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の 条件２ のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。

(2) 「区分的に滑らか」の方は、その説明ではマズイ
ような気もします。「滑らか」も、文脈ごとにブレのある用語ですが、
概ね「任意階微分可能であること」を指すようです。
複素関数なら、１階微分可能と任意階微分可能は同じことですが、
「区分的に滑らか」と言うときには、実関数を考えていることが
多いように思います。実関数の意味では、１階微分可能な関数が
任意階微分可能とは限りません。

ただし、フーリエ級数を扱うときには、
「区分的に連続、かつ１階導関数が区分的に連続」な関数が
登場するので、ソレを「区分的に滑らか」と呼んでしまうような
流儀があるのかも知れません。

どうなんでしょうね。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

kabaokaba

それぞれの「具体例」を作れますか？

「区分的に連続」
区間内に有限個の点があってそれらの点だけで連続ではない
つまり
発散は関係ありません．
例：
f(x) = -1 (x<0)
= 0 (x=0)
= 1 (x>1)
いわゆる「符号関数」の類です．
x=0だけで連続ではないので区分的に連続です．

例：y=1/x x=0で定義されていないが
それ以外では連続

「区分的に滑らか」
例：y=|x|
x=0で微分可能ではなく，他では微分可能
要は「折れ線」が代表的なもの

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解が深まりました。