のこぎり歯関数

質問

fを周期２πとするとき
f(x)= (-π-x)/2　　　(-π≦x＜0)
0　　　　　　　(x=0)
(π-x)/2　　　　(0＜x≦π)
fが連続関数でないにもかかわらずfのフーリエ級数が全てのxに対して収束するのはなぜでしょうか？

この関数のフーリエ級数は
２ｉΣe^inx/n
となるかなと考えたのですがなぜ連続でないfのフーリエ級数が全てのxに対して収束するのかが分かりません。

この問題の判る方のご解答をお待ちしております。
宜しくお願い致します。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

フーリエ級数展開とかは関係なく・・・
＃というか，フーリエは忘却してしまった

連続関数による関数列が各点収束するからといって，
収束先の関数が連続とは限らない
一様収束なら極限は連続になる

というだけでは？
簡単な例としては
fn(x) = x^n (0<=x<=1)
これは f(x)=0 (0<=x<1) = 1 (x=1)に収束する．
各項が連続でも極限が連続ではない初等的な例．

関数項級数は関数列の特別な場合だから
本質的には同じなわけです．

お礼

この度は私の質問にお答えいただきありがとうございました。

また、簡単な例を記していただいたおかげでとても納得のいく解説をしていただきありがとうございました。

（すいません。補足のほうにお礼を書き込んでしまいました。）

補足

この度は私の質問にお答えいただきありがとうございました。

また、簡単な例を記していただいたおかげでとても納得のいく解説をしていただきありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

ご質問の意味を取り違えているかも知れませんが、周期関数ｆ(ｘ)とそのフーリエ級数ｇ(ｘ)との間に（不連続点でも）ｆ(x)＝ｇ(x)が成立しているということが、そもそものご質問の由来のような気がします。

一般的な話ですが、フーリエ級数ｇ(x)が何かの値に収束したからといって、本来の等号の意味でｆ(x)＝ｇ(x)が成立しているとは限りません。
ｆ(x)が不連続な関数であるとき、その不連続点でのフーリエ級数の収束先は、ｆ(x)の左側極限と右側極限の中点になります。今回のご質問の関数の場合、ｆ(０)＝０と定義されていますのでｆ(０)＝ｇ(０)ですが、ｘ＝０の近傍では実はｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)は成立していません。ｆ(x)が連続な関数であればｇ(x)はｆ(x)に収束するのですが、不連続関数の不連続点近傍ではだめなんですね。ですから、フーリエ級数をｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)と書かずに、ｆ(ｘ)～ｇ(ｘ)のように等号を使わずに書く方もいるようです。

フーリエ級数と不連続関数をキーワードにして検索してみてください。簡単に説明しているサイトがいくつかあるようです。

お礼

この度は私の質問に答えていただきありがとうございました。

なるほど、と納得のいく例を提示していただきありがとうございました。

お礼を言うのが遅くなってしまい申し訳ございません。