ケーキはどちらに？

質問

二人の兄弟に一つのケーキが与えられました。
兄はゲームでどちらがケーキを食べられるか提案し、弟もそれに同意しました。
兄は三つの同じ箱を用意し、そのうちのひとつにケーキを隠しました。
兄はどの箱にケーキがあるか知っていますが、弟は知りません。
兄は弟にどの箱に入っているか当てられたらおまえが食べていいと言うと
弟は「これにする」と三つのうちの一つを選びました。
兄が弟の選んだ箱を開けようとすると、
弟は「待って、これだと僕が勝つ確率は１／３で兄ちゃんの勝つ確率は２／３で不公平だ」と言いました。
すると、兄は「おまえの選ばなかった箱のどちらかは空だ」と教えてくれ、弟の選ばなかった空の箱を開けました。そして、箱を選び直すか聞いてきました。
すると弟は、
「ケーキは兄ちゃんが開けなかった二つのうちどちらかに入ってるわけだ、どちらも確率は１／２だね。それなら選びなおすか直さないかは問題じゃない。僕は変えないよ。これは公平なゲームだ。」

さて、あなたは弟の意見に同意できますか？

回答No.23

sPP · ベストアンサー

＃８＝＃１７です。
もう、なんだかすごいことになってしまいましたね。

＃１７でまとめたつもりが＃１８さんに反論されてしまったので、
私自身の意見は完全に放棄してもう一度総括してみます。
今度こそ大丈夫かな？

質問に対する回答：
　まずこのゲームは公平なゲームではない。
　最後に残った２つの箱のうち、
　弟が選んだ箱に入っている確率は１／３、
　弟が選ばなかった（かつ兄が開けなかった）箱に入っている確率は２／３。
　しかも最後の選択権は弟にある。
　よってこれは弟に有利な不公平ゲームだからからである。

　また「選びなおすか直さないかは問題じゃない」というのも間違い。
　選び直しても直さなくても弟の有利には変わりがないからである。
　（ただ、「問題じゃない」＝「確率的に変化がない」という意味なら正しい。
　　しかしそれは弟の意図したこととは違うので、ここでは無視。)

　以上より結論として、
　最後の弟の意見には『完全に同意できない』。

皆さん並びに質問者さん、これでいかがでしょうか。

あとちょっと気づいたこと。

＃２１さんが問題の置き換えとして挙げている、
＞◆箱の中に、ボール３個が入っている（白２個＝ハズレ、赤１個＝ケーキ）
＞◆弟は目を閉じて、ボールを１個取る
＞◆兄は箱に残っているボールから白１個を取り出し、弟に選び直すかを聞く
というものですが、結構分かりやすいと思います。
ただ、最後の「弟に選び直すかを聞く」という部分の解釈に、
ケーキの場合も含めたこの問題の本質があるような感じがしました。

ボールの問題の場合、「選び直す」というのはどういう手順のことでしょうか。
弟が握ったままのボールと箱に入ったままのボールとを入れ替える（もしくは入れ替えない）ということでしょうか。
それとも握ったままのボールを一旦箱に戻してから、改めて２つのうちの１つを目を閉じて選ぶということでしょうか。

どちらも２つのボールのうちの１つが赤であるという事実は変わりませんが、
後者の場合は一度箱に戻してしまった以上２つのボールは対等なので、赤である確率は１／２です。
しかし前者の場合、握っているボールと箱の中のボールは対等ではありません。
それはつまり、箱の中のボールは兄が残したという情報を抱えているので、赤である確率が１／３から２／３にアップしているからです。

私を含めて、ケーキの問題に同意できる答えた人は問題を後者のように捉えたからであり、
同意できないと答えた人は初めから前者のように考えていたからではないでしょうか。

いやーなかなか奥が深い問題ですね。
大変勉強になりました。ありがとうございます。

回答No.13

RandyPlus

>さて、あなたは弟の意見に同意できますか？
　弟の意見とは最後の「ケーキは兄ちゃん～ゲームだ。」の事でよろしいですよね？

　であれば、この意見には同意できません。
　この質問の場合、「選び直さなかった」以上、兄２／３、弟１／３の確率は変わりません。

　ただ、１つの箱を空けた段階で弟に再度選ばせているので、弟は１／２の確率にすることも可能でしたから、「公平なゲーム」はあっていると思います。
もっとも、公平なゲームにする権利を弟は放棄していますが（笑）

回答No.12

jun1038

もうひとつの例を考えました。

１００人の人が無人島に流れ着き、食料が無くなってしまいました。
残酷な話ですが、そこで１人を犠牲にして（殺して）みんなで食べようと
いうことになりました。
犠牲者は公平を期すため「あみだくじ」で決めることになりました。
自分が犠牲になる確率は１００分の１。Ａくんはまず自分は当たらないだろうと
安心していました。ところが、端からどんどん確認していくと、みんなはずれで、
残ったのはＡくんとＢくんの２人だけでした。
「やばい！！」Ａくんは不安に思いました。でも、その時、もうすでにはずれて
安心している周囲の人からアドバイスをもらいました。
「落ち着け！おまえが犠牲になる確率は１００分の１なのだから
　それは変わらない。あみだくじを作り直したわけじゃないんだから。」
Ａくんはそれを聞いて少し安心しました。
ところがそばにいるＢくんにも同じように
「おまえが犠牲になる確率は１００分の１だ！」とアドバイスしている人が
いるのです。
二人が犠牲になる確率は、それぞれどのくらいでしょうか。１００分の１？

では。

回答No.11

jun1038

３たびどうも。

質問者の問題はいろいろ日本語がたくさん書かれていて、
どこに注目するかで議論が複雑になってしまう可能性がありますが、
本質的には私が２度目の回答で示した（例題）と同じと考えます。
（にぎり続けている、といった表現にご注意下さい。）

（例題２）袋の中に玉が１００万個入っている。そのうち１つだけ赤で
　それ以外は白である。今、袋の中に手を入れその中の１個をつかんだ。
　すると、袋から多くの玉がこぼれだし、結局９９万９９９８個の白い
　玉がこぼれて、袋の中には手でにぎっている１個とその他の１個のみに
　なった。手でにぎり続けた玉が赤玉である確率はいくらか。
（私の考え）どー考えても、そうなっちまった以上、確率２分の１じゃん。

（例題３）ある株式は、今後値上がりするか値下がりするか、確率２分の１
　と考えられていた。その株式を買った後、密かに、その会社がある画期的な
　発明をしたというインサイダー情報が寄せられた。法律上の問題は無視して、
　その株を持ち続けている有利さは変化したか。
（私の考え）どー考えても、情報が与えられた以上、有利に決まってんじゃん。

では。

回答No.10

eatern27

#3です。「100万個の例」を使って、同意できない理由を説明しましょう。

ＮＯＴＩＣＥ！
弟は、箱を選び直すチャンスをもらったのに、それを放棄したのです。これはそんなチャンスが無かったのと変わりはありません。選び直した結果、同じ箱を選んだのとは違います。弟は「選びなおすか直さないかは問題じゃない。」と考えたのです。この質問はこの意見に賛成できるかという質問です。（少なくともそう読み取れます。)

ただ、前提としてこの質問は公平なゲームか？を聞いているのなら、それは公平なゲームです(兄が箱を選び直すか聞いたため)。ただ、この質問は「弟の意見に賛成できるか」という質問です。

その弟の意見というのは「選びなおすか直さないかは問題じゃない。」このことです。

説明1
100万個の箱があります。弟が１個選びました。弟がケーキを食べられるかは1/100万です。「箱を開けない」というルールならこれでよいのは皆さん同意して頂けると思います。
ここで99万9998個の箱を開けます。先ほども書きましたが、ここで弟は問答無用で箱は変えなかったのです。ここで、変えるか、変えないかを考えた上で同じ箱を選んだというのなら別です。何度も書くようですが、弟は何も考えずに最初選んだ箱を選んだのです。

つまり、弟がケーキにありつける確率は「箱を開けない」時と同じで1/100万です。

説明2
弟は箱を変えるという手段を放棄しているのです。
弟がケーキを食える場合というのは100万個の箱の内ケーキが入っている箱を選んだときのみです。繰り返すようですが、最初に100万個の中からあたりを選んだときのみです。そのたった１通りです。

たったの1通りなのです。

逆に兄がケーキを食べられる(もう一方の箱に入っている)のは残りの999999個にケーキがあった場合です。

こう考えるとこれは実は弟の方が有利なのです。箱さえ変えれば、999999/100万でケーキを食べれたのです。

このゲームは公平ではありません。選べる側に有利だから、そう考えれば公平ですが。

説明3
残りの２つの箱を同じと捉える事は出来ません、その2つの箱は違う箱なのです。

何が違うのか―――弟が最初に選んだか選んでいないか。

確率が1/2となるのは残り2つになった後、兄がその二つを交ぜた場合です。

長くなってしまいましたが、わかって頂けましたか？

回答No.9

jun1038

ふたたびどうも。

○心理学的な問題にしないほうが良いと思います。
　そうでないと、「深読み合戦」みたいになって泥沼化する可能性が。

○単純に、「兄が情報を与えた後の確率」という問題にするべきでは？
　箱の選択を変えようがそのままだろうが、あくまで、
　「弟の目の前には２つの箱があり、そのうちの１つにケーキが入っている」
　という状況にかわりはないのでは？

○弟のケーキ獲得率が３分の１と考える人は、私の回答NO.２の
　「１００万個の箱」の例をどう考えるのでしょうか。

○この問題は、「情報が与えられたあとの確率の変化」
　に関する問題だと思います。
　例えば、１年後の明日が、晴れているか、曇っているか、雨であるか
　３０年（平年）くらいの統計を取って、
　おおよそ、それぞれの確率を知ることができますよね。
　もし、ある人が今日から来年の明日の当日まで、
　目隠しや耳栓をされていたら、その人にとって明日の天気の確率は
　平年から推定したものくらいしか分からないでしょう。
　でも、普通、私たちは、来年の今日までにさまざまな情報を得て
　来年の明日の天気をかなり高い確率で知ることができます。

　最初の段階に対して、「情報」が増えれば「確率」も変わるのです。

（例題）袋の中に３つの玉がある。２つは白で１つは赤。
　今、袋の中に手を入れて１つの玉をつかんだ。
　すると、残りの玉の１つがこぼれ出て、その玉は白であった。
　手でつかんでいる（つかみ続けている）玉が赤である確率はいくらか。

それでは。

回答No.8

sPP

確率論的には、弟の意見に同意できます。
理由は＃４さんが簡潔に回答してくれたので省略します。

しかしこれを兄と弟の心理戦と捉えると少し様相が変わってくるように思えます。

この問題のポイントは、
1.３つの箱のうち１つを弟が選んだ時、兄は何も言わずに箱を開けようとした。
2.そこで弟は箱を開けようとする兄を制して「このままだと不公平だ」と発言した。
3.弟が選ばなかった２つのうちの片方を開けた後、兄は箱を選び直すか聞いてきた。
にあると思います。

1.の事実から兄の心理を考えると、
「弟が選んだ箱にはケーキが入っていなかったのではないか」という推察が成り立ちます。
つまりもし弟が選んだ箱にケーキが入っていたのなら、兄は無言で箱を開けたりはせず、
「このままだと君(弟)にとって不利だ。選ばなかった２つのうちの片方を開けてあげよう。」
などと言って、優しい兄を演じつつも弟に再考の余地を与えるという作戦をとったかもしれません。
それは3.にも現れています。わざわざ「選び直すか」と聞いてきたということは、
弟が選んだ箱にケーキが入っているという傍証ではないでしょうか。

こんなせこい兄の作戦にも負けず、2.のようにきっぱりと主張し、
「選びなおすか直さないかは問題じゃない」と断言している弟の方が、
心理的には一枚上手ですね。
おそらく現実にも弟の選んだ箱にケーキが入っていたのでしょう。

ただし、この問題における兄の言動が、
これらの弟の心理を完全に読み切ってのものだったとしたら、それは完全に兄の勝利ですね。

回答No.7

TK0318

なんかいろいろな答えが＾＾；

＞弟は「待って、これだと僕が勝つ確率は１／３で兄ちゃんの勝つ確率は２／３で不公平だ」と言いました。

ここまでは正しいです。
で、兄は一つを開けてくれたわけです。
開ける前の状況では兄の２つの箱に入っている確率は2/3、弟の方は1/3です。箱を開ける場合、兄は開ける箱を選択できるわけですのでやはり兄が持っている箱が2/3、弟が1/3となります。

意外に思われるかもしれませんがこの結果から変えた方が得なのです。

この問題は結構有名な問題です。ケーキでなく1万円にしておこない、千円払って箱を変えるか？と最後に聞いてきます。（答えは「変えた方が得」）

・何度もクイズ本などで見ていてこの回答が正しいと思いますので「経験者」にしておきます。

回答No.6

noname#11476

>おまえの選ばなかった箱のどちらかは空だ
をそのままどちらかが空でない、つまりケーキが入っていると裏読みすると、答えは自明になってしまいますが、そういう意味ではないですよね？

>おまえの選ばなかった箱のどちらか、又は両方が空だ
>おまえの選ばなかった箱には空箱が含まれている。
と言って弟の選ばなかった空箱をあけたのであれば、確率的な問題になります。
以下そういう問題だとして。

>それなら選びなおすか直さないかは問題じゃない
は間違いです。
２回目の選択の自由が無い場合は１／３になります。

いま、兄から与えられた選択の自由を使うとしましょう。

当初１／３の確率分布でしたが、途中で空箱を空けた瞬間に確率分布は１／２に変化します。
（弟にとって、一つ空箱の存在が明らかになったため）

この時点で選択の余地が無い場合は、当初の１／３の確率のままですが、再度選択の自由が与えられたので、どちらを選ぶかは自由となります。
そのときの確率は既に１／２になっています。

選びなおしの選択が無かった場合は、１／３のままとなります。

マジックみたいですが、要するに２回目の選択で、今回は変えないという選択をしましたが、変えるという選択肢をとることもありえたわけです。
そのときに兄にとってみると、選択の自由を与えた瞬間に、自分のところに来る確率は１／２になるからです。

弟が、
>それなら選びなおすか直さないかは問題じゃない
の考えを変えず２回目の選択の自由がないとします。
その場合は、２／３は空箱なので、兄はいつでも空箱のほうをあけることが出来、そこで弟が再度選択しないのであれば、確率は１／３のままになります。

一回目の選択と異なるのは２回目の選択では既に空箱が一つ明らかになっている点です。空箱であることがあきらかでなければ（兄が一つも空箱を開示しない場合）、何度選択しても１／３の確率ですから。

では。

回答No.5

LAMY

弟には賛同(同意？)しかねます...公平なゲームではないので。

現状は未開封の２箱が対象となり、選んだ１箱があるので確率は１／２と
なりましたが、兄が１箱空けるまえは確率が１／３であり公平ではない。
(もし反論しなければ不公平なままですね)

選び直す必要もなく確率１／２で、前回選んだままで良いという言い分は
ありえますが、「選びなおすか直さないかは問題じゃない」との発言も適切
ではないと思います。

質問者は何が聞きたいのでしょうか...謎々の回答？
家であった実在の話に対する、良い解決(説明)の方法なのですか？

因みに「おまえの選ばなかった箱のどちらかは空だ」とは、「両方とも空」で
ある可能性もあると考えましたが...如何でしょうか？

回答No.4

ranx

同意できると思います。
最初弟が選んだ箱に入っていた確率は1/3。
その場合、残りの二つのうち一つを除いて、
残った二つから選んで当たる確立は1/3×1/2。
最初弟が選んだ箱に入っていなかった確率は2/3。
その場合、残りの二つからケーキの入っていない一つを除いて、
残った二つから選んで当たる確立は2/3×1/2。
結局全体として弟が当たる確率は
1/3×1/2＋2/3×1/2＝1/2
ですから、公平なゲームだと思います。