- ベストアンサー
式変換が分かりません。。。
いつもお世話になります。 初心者が独学で数学勉強しています。 以下の式変換が示されたのですが、 どのように導かれたのか、私には分かりません。 導き方を教えて下さい。 よろしくお願いします。 dX/da = -(r + u(a))・X(a)・・・（あ） dN/da = -u(a)・N(a) N(a) = N(0)・L(a) L(a) = exp(-∫u(s)ds) ←積分は 0 からaまで。 とすると、（あ）は、 X(a)=N(0)・L(a)・exp(-ra) と変換できる、とあるのです。 なぜでしょうか。 変換過程はどうなっているのでしょうか。
- NyakoUSA
- お礼率88% (8/9)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんにちは。 dX/da = - (r + u)・X 1/X・dX = - (r + u)・da ∫1/X・dX = -∫(r + u)・da ここで左辺の積分をすると、log|X| です。 右辺も積分した上で、両辺をｅのべき乗にすれば、 左辺は、Ｘ（=X(a)）になり、右辺には、ｅのべき乗ができます。 全部計算していないので、間違っていたらすみません。
関連するQ&A
- フーリエ変換がよくわかりません。
フーリエ積分の勉強を始めたばかりで、まだ慣れずどうやればいいのかわかりません。 とても初歩的なことだと思いますがお願いします。 f(x)=exp(-x^2/2) のフーリエ変換を求めたいのですが、 F（f(x)）=1/√2π∫（-∞～∞）exp(x^2/2+iωx)dx としてからの変換がわかりません。 その際 ∫（-∞～∞）exp(-αx^2)dx=√π/α を用いれます。 フーリエ変換というより積分計算かもしれないのですが、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分すると1/2とLが消える？
本の計算では、ある式を積分すると1/2とLが消えてしまっていて、自分の計算と合いません。右辺が0なので両辺に2を掛けてLで割った可能性もあるのですが、1/2が消えるのはまだ許せても、Lが消えるのは納得いきません。（消していいものなのか、もしくは別の理由で消えたのか、判断願います。） 原文を引用します： ※関係式： ∫[0,L] cos (2nπx/L) dx = ∫[0,L] sin (2nπx/L) dx = 0 (式1.17a) (nは正あるいは負の整数) [前略] …さらに、 (1/2) * { da[0](t) }/dt + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * cos(2nπx/L) + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * sin(2nπx/L) = -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * cos(2nπx/L) - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * sin(2nπx/L) （式7.6） …の両辺をそのままx=0からx=Lまで積分すると、先の関係式(式1.17a)より、 { da[0](t) }/dt = 0 (式7.7c) が得られる。 ・・・以上、引用終わり。 私の計算だと、（式7.6）の両辺をそのままx=0からx=Lまで積分するので： (1/2) * { da[0](t) }/dt *∫[0,L] 1 dx + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx = -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx になり、 ∫[0,L] cos (2nπx/L) dx = ∫[0,L] sin (2nπx/L) dx = 0 (式1.17a) により、 ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx はすべて0になります。 残りを計算すると (1/2) * { da[0](t) }/dt *∫[0,L] 1 dx = 0 (1/2) * { da[0](t) }/dt * [x][0,L] = 0 (1/2) * { da[0](t) }/dt * [L-0] = 0 (1/2) * { da[0](t) }/dt * L = 0 になります。本の答えは { da[0](t) }/dt = 0 なので合いません。 [概略]（原文が凄まじく長いので、自分の言葉で書きました…なんとなく分かっていただけたらと思います…足りなかったら補足します） u(x,t) が時刻tにおける座標xでの温度uを表します。 このとき、1次元の熱伝導方程式 { δu(x,t) }/δt = D * { δ^(2) * u(x,t) }/{ δx^(2) } （式7.1） を解くためにフーリエ級数をどう使うのか、というのが今回のテーマです。 最初の時刻(t=0)での温度分布（つまり、初期条件）は u(x,0) = f(x) （式7.2） とします。 例として、長さLの「リング状の」棒での熱伝導を考えます。リング状なので、棒に沿って「ある点」をx=0とすると、 x=x[0] と x=x[0]+L は同じ点に対応するため、「温度uが座標xについて周期Lの周期関数である」という周期的境界条件 u(x,t) = u(x+L,t)（式7.3） が任意の時刻t (>=0)で成り立っている必要があります。 このときには初期温度分布f(x)にも条件が付き、 f(x) = f(x+L)（式7.4） が成り立っていないといけません。すなわち、f(x)も周期Lの周期関数です。 u(x,t)をフーリエ級数展開すると、 u(x,t) = (1/2) * a[0](t) + Σ[n=1,∞] a[n](t) cos (2nπx/L) + Σ[n=1,∞] b[n](t) sin (2nπx/L)（式7.5） になり、この（式7.5）を（式7.1）に代入して項別の偏微分をすると、私の質問に出てくる (1/2) * { da[0](t) }/dt + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * cos(2nπx/L) + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * sin(2nπx/L) = -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * cos(2nπx/L) - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * sin(2nπx/L) （式7.6） になります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベルヌーイ方程式の解き方について
ベルヌーイ方程式に関する教科書の例題を解いていて、答えが合わなくて困っています。 x(dy/dx)+1/3y=x/y^5 をベルヌーイの方程式 (dy/dx)+p(x)y=q(x)y^n で p(x)=1/(3x) q(x)=1 n=-5 として解いていくと u=y^6とおく 1/6(du/dx)+u/(3x)=1 (du/dx)+2u/x=6 と変形できますよね？ ここまでは教科書に載っていて、問題なかったんですがここから同次方程式の解を導くのに 同次方程式 (du/dx)+2u/x=0 の一般解は ∫(du/u)=-∫(2/x)dx u=Aexp(-logx^2) A:積分定数 ここでAをxの関数として定義すると (dA/dx)exp(-logx^2)-2Aexp(logx)+2Aexp(logx)-6=0 dA/dx=6x^2 ∫dA/dx=∫6x^2dx A=-3/x+B ・・・ となって思考停止になってしまいました。 解答はu=2x+A/x^2となっているのですが、なぜこうなるのでしょうか。 初歩的な質問で申し訳ありませんが、お答え頂けるとありがたいです。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫exp{-c(x/a-b/x)^2}dxの計算
以下の積分公式をどのように証明したらよいかご教示ください。 ∫[0→∞] exp{-c(x/a-b/x)^2} dx = (a/2)√(π/c) ガウスの積分公式∫[-∞→∞] exp(-nx^2) dx =√(π/n) を使い、x/a-c/x=zと変数変換しようとしましたがうまくいきません。 ご存知の方よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
f(x)=1/(2+cos(x))の複素フーリエ係数c_nを求める過程で、 ∫_[-π<x<π]exp(-nix)dx/(2+cos(x))を計算したいのですが途中で行き詰まってしまったので指南のほどをお願いします。 ∫_[-π<x<π]exp(-nix)dx/(2+cos(x)) =∫_[0<x<2π]exp(-ni(x-π))/(2-cos(x)) 積分範囲の変換 =2i∫_[周回積分]z^(-n)cos(nπ)dz/(z^2-4z+1) z=exp(ix)と置いて置換 ここからnが奇数と偶数の場合に分けて計算しようと考えたのですが、どうしたらよいかわかりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫exp(x)/x dxの積分
こんにちは。 ラプラス変換で微分方程式を解く問題をといておりましたところ、 以下の式が出てきました。 L{X(t)} = (3+2s)/{(1+s)(2+s)(3+s)} L{Y(t)} = (2+4s+s^2)/{s(2+4s)} これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。 部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の 積分を求める必要が出てきます。 ∫exp(s)/s ds ……(1) ∫exp(s)*s^n ds において、nが自然数なら、部分積分で求めることができるのですが、 nが負の整数の場合、部分積分を行うと(1)で手詰まりになってしまいます。 仮に(1)を部分積分しても、 [(log|s|)exp(s)] - ∫(log|s|)exp(s) ds となり、∫(log|s|)exp(s) ds を求めることができないので、先に進めません。 どうやれば(1)の積分は解けるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この式の導き方
お世話になります。 以下の式の導き方を教えて頂きたく、 大変お手数ですが、どうぞよろしくお願いします。 自分でやっても、どうしても途中で止まってしまいます。。 (与えられる式) Ra + P + Rc = 0 ・・・(1) Ra + N1 = 0 ・・・(2) Rc - N2 = 0 ・・・(3) U1 + U2 = 0 ・・・(4) U1 = (N1*L)/(3*E1*A) ・・・(5) U2 = (2*N2*L)/(3*E2*A)・・・(6) (導く式) Ra = -P(2*E1)/(2*E1+E2)・・・(7) Rc = -P*E2/(2*E1+E2) ・・・(8) U1 = (2*P*L)/(3*A(2*E1+E2))・・・(9) 以上、よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数）
フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数） 次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を f(X＋2nL)＝f(x)により -∞＜x＜∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L) ここで教えていただいたのですが、 恥ずかしながらあまり理解できなかったため、再度質問します 複素フーリエ係数が cn==∫【-L→L】f(x)*exp(-i n x)/2πdx この公式より cn=∫【-L→0】0*exp(-i n x)/2πdx ＋∫【0→L】1* exp(-i n x)dx コレであっていますか？ なんだか単純なような・・・ 回答お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
sanoriさん、いつもありがとうございます。 変数分離形方程式（でいいですか？）を使うのですね。 教えて頂いた方法で解いたら、解けました！ これには続きがあります。 もし、お時間があれば以下も合わせて教えて下さると嬉しく思います。 dY/da = r・X - (v + u(a))Y(a) が更に与えらられ、 これを解くと Y(a) = r・N(0)・L(a)・(exp(-va) - exp(-ra))/(r-ｖ) とあります。 変数分離ではうまくいかず、 やはり解けなくて、教科書と睨み合っています。 もし、お時間があれば、どなたでも解法をお導き下さると幸いです。