数列のところでわからない問題があります。

質問

文系人間なんですが、まったくわかりません（Ｔ＿Ｔ）
詳しい方教えてください！

Ａｎ/２Ａｎ+１という数列があって、

Ａｎ＝１．２．３．と代入していくとと、

Ａｎ+１＝1/3　2/5　3/7　。。。。

となっていく数列の第100項目である、Ａｎ＝１００を教えていただきたいのですが、どうやって求めればよいのでしょうか？

お詳しい方
どうぞよろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.6

debut · ベストアンサー

No4です。
等差数列というのは、隣り合う２つの項の差が等しいという
ことですよね。
そこで　1/A(n+1)=1/A(n)+2　を見れば、新数列{1/A(n)}の
「ある項は、その前の項に２を加えれば求まる」ということを
示しています。あるいは、式を1/A(n+1)-1/A(n)=2と変形して
みれば、「次の項と前の項の差はいつも２」だよ、といって
いることになります。
だから、1/A(n+1)=1/A(n)+2　から新数列{1/A(n)}は公差２の
等差数列だと読み取れます。
※なお、ｋを定数として、A(n+1)=kA(n)　の形なら、等比数列
　と読み取れます。

＞逆数にするっていうのはひらめきというかこういう風にする
＞とうまくいくというものですよね。やり方を覚えるしかない
＞ものなのでしょうか？
漸化式を解くためのパターンとして覚えておくことなのだと
思います。A(n+1)=A(n)/{xA(n)+y}型ならひっくり返して
みようと。

お礼

みなさまご回答ありがとうございます！

ご丁寧な説明のおかげで良く理解できました！

感謝いたしますｍ（＿　＿）ｍ

回答No.5

nettiw

A(1)=1
A(n+1)=A(n)/[2A(n)+1]

両辺の逆数をとり、
1/A(n+1)=[2A(n)+1]/A(n)
1/A(n+1)=2+[1/A(n)]

新数列 {1/A(n)} は、
初項 1/A(1)=1/1=1、
公差 2 の　等差数列になっています。

等差数列の一般項の公式は、
（第ｎ項）＝（初項）＋（ｎ－１）・（公差）　です。

1/A(n)=1+2(n-1)=1+2n-2=2n-1 .

よって、元の数列の一般項A(n)は、
A(n)=1/(2n-1)

第１００項は、
A(100)=1/199

---
あるいは、

A(1)=(1/1)
A(2)=A(1)/[2・A(1)+1]=(1/3)
A(3)=A(2)/[2・A(2)+1]=(1/3)/(5/3)=(1/5)
A(4)=A(3)/[2・A(3)+1]=(1/5)/(7/5)=(1/7)

分母が奇数で、分子は１、
A(n)=1/(2n-1) と類推し、
数学的帰納法で証明しておいて、
A(100)=1/199　.
---

お礼

みなさまご回答ありがとうございます。

しかし、わからないところがありまして、

お二方とも公差２の等比数列にされていますが、
なぜ公差が２とでてくるのでしょうか？

逆数にして、
新数列 {1/A(n)} は、
初項 1/A(1)=1/1=1
というところまではわかるんですが、
なぜここで、
公差 2 の　等差数列になるのでしょうか？

ほんとに数学が苦手でこんな簡単なこともわからないんです（＾＾；）

後、逆数にするっていうのはひらめきというかこういう風にするとうまくいくというものですよね。やり方を覚えるしかないものなのでしょうか？

回答No.4

debut

添え字を(n)のようにします。
A(n+1)=A(n)/{2A(n)+1}の逆数をとれば
1/A(n+1)={2A(n)+1}/A(n)=2+1/A(n)
ここで、1/A(n)=B(n)とすれば、B(n+1)=B(n)+2となり、
B(n)は初項B(1)=1/A(1)=1、公差２の等差数列なので、
その一般項はB(n)=1+2(n-1)=2n-1　（n=1も成り立つ）
よって、1/A(n)=2n-1　だから　A(n)=1/(2n-1)
すると、A(100)=1/199

もし、順々にするならば、
A(1)=1、A(2)=A(1)/{2A(1)+1}=1/3、
A(3)=A(2)/(2A(2)+1}=(1/3)/{(2/3)+1}=(1/3)/(5/3)=1/5
A(4)=A(3)/{2A(3)+1}=(1/5)/(7/5)=1/7
というように、漸化式では前の項の数を入れないとだめです。
だから、A(n+1)は1/3,2/5,3/7・・のようにはなりません。
そうすれば、分子は１、分母が3,5,7,9・・・なので、
A(n)=1/(2n-1)　と予想できますね。

回答No.3

BookerL

＞Ａｎ/２Ａｎ+１という数列があって、

問題の意味がとれません。

Ａn＝ｎ／(２ｎ＋１)　という数列があって、
ｎ＝ 1,　2,　3, と代入していくと
Ａｎ＝1/3,　2/5,　3/7,

……なら意味がわかるのですが、それだと #1 の回答のように
Ａ100 ＝ 100/201
ですね。

回答No.2

Quattro99

問題がおかしくないですか？

Anの第100項はA100です（100は小さく表記）。
第1項（つまり、A1）は問題に具体的な数字が提示されていませんか？

お礼

みなさま私の問題がわるかったみたいで、
申し訳ないです。

実はこれ漸化式の問題でして、
途中からわからないところだけばっすいしました。

きちんと前文書きますと、

（問題）

次の漸化式に定められる数列{An}についてA100（100は小文字）
はいくらか？

Ａ1（1小文字）＝１、

Ａｎ+1（ｎ+1小文字）＝An+1（ｎ+1小文字）＝Ａｎ/２Ａｎ+1（ｎのみ小文字）

っという問題なんです。

途中までは先生が教えてくれて、
Ａｎに１．２．３．。。といれていくと
Ａｎ+1＝が規則性のあるものになるから。。。

といったことをいっていたのですが、
私にはさっぱりで、、、。

すみませんが、もしおわかりになりましたらよろしくお願いします。

回答No.1

sanori

こんばんは。

なんか変ですが、

Ａｎ　＝　ｎ　（＝　１，２，３・・・）
で
Ａｎ/（２Ａｎ+１）　つまり、　ｎ/（２ｎ+１）　の、ｎ＝１００のときの値を求めるということでしょうか？

それだと、
１００／（２×１００＋１）＝　１００／２０１
というふうに、あまりにも簡単に求まってしまうので、
ご質問文をどっか書き間違えていませんか？