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数列の問題

数字1,2,3をn個並べてできるn桁のの数全体を考える。そのうち1が奇数回あらわれるものの個数をan,1が遇数回現れるか全くあらわれないものの個数をbnとする。 ※an,bnは数列の一般項です (1)an+1、bn+1をan,bnを用いて表せ。 数列の問題なのですが、ちょっとどんな風に解いたらよいかわかりません。 よろしくお願い致しますm(__)m

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stripeさん、こんばんは。 面白い問題ですね。 ○○○・・・・・○ ↑       ↑ 1か2か3   n番目 こういう数字を考えるんですよね。 どれにも、1か2か3の3通りが入るので、個数は3^n個。 さて、そのうち、1が奇数回表れるのを、a[n] 1が偶数回もしくは、0回現れるのを、b[n] としますと、 a[n]+b[n]=3^n >(1)an+1、bn+1をan,bnを用いて表せ。 a[n+1]とは、 n+1桁の数字のうち、1が奇数回現れるものの個数なので、 n桁の数字で、1が奇数回表れるものに、n+1番目に2か3が来るときと、 n桁の数字で、1が偶数回現れるものに、n+1番目に1が現れたもの を加えた数だけありますよね。 つまり、 1・・・・・・・・・nn+1 ○○・・・・・・・○○         ↑ ここまで、奇数回なら、n+1番目が1が出れば偶数回になり、 ここまで偶数回なら、n+1番目に1が出れば奇数回になる。 このことを考えると、 a[n+1]=2a[n]+b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n] となるのではないでしょうか。 ご参考になればうれしいです。

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質問者からのお礼

詳しいご回答どうもありがとうございます。 解説を聞いて、やっと何が聞かれているのかが分かってきました(^^; ごめんなさい、大体わかったのですが、最後のところがちょっとよくわかりません。 >a[n+1]とは、 n+1桁の数字のうち、1が奇数回現れるものの個数なので、 n桁の数字で、1が奇数回表れるものに、n+1番目に2か3が来るときと、 n桁の数字で、1が偶数回現れるものに、n+1番目に1が現れたもの を加えた数だけありますよね。 つまり、 1・・・・・・・・・nn+1 ○○・・・・・・・○○         ↑ ここまで、奇数回なら、n+1番目が1が出れば偶数回になり、 ここまで偶数回なら、n+1番目に1が出れば奇数回になる。 ここまでは大丈夫なのですが、 >a[n+1]=2a[n]+b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n] となるところがよくわかりません。 お忙しいと思いますが、よろしかったら教えて下さいm(__)m

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  • 回答No.2
  • BBblue
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>1・・・・・・・・・nn+1 >○○・・・・・・・○○ >        ↑ >ここまで、奇数回なら、n+1番目が1が出れば偶数回になり、 >ここまで偶数回なら、n+1番目に1が出れば奇数回になる。 a[n+1]について、 1・・・・・・・・・nn+1 ○○・・・・・・・○1  となるとき、 ○○・・・・・・・○ の部分は n 桁で1が偶数回だからb[n] 通り。 1・・・・・・・・・nn+1 ○○・・・・・・・○2 ○○・・・・・・・○3  となるとき、 ○○・・・・・・・○ の部分は n 桁で1が奇数回だから 2a[n] 通り。 よって、 a[n+1]=2a[n]+b[n] で良いでしょうか? b[n+1]=a[n]+2b[n]も同様です。

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質問者からのお礼

どうもありがとうございます。 >○○・・・・・・・○1  となるとき、 >○○・・・・・・・○ の部分は n 桁で1が偶数回だからb[n] 通り。 その通りですよね!なんかn+1番目はカウントしなくてよいのかとか色々ヘンなことを考えてました(^^; 参考にさせていただきます。

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