• ベストアンサー

相加相乗を使ったときの疑問

tiezo-の回答

  • tiezo-
  • ベストアンサー率41% (13/31)
回答No.4

#1の方のとおりです (x+1/x)(x+4/x)=x^2+4/x^2+5             >=2√4+5=9 等号成立は、x=√2のときです 次に、x+1/x>=2・・(1)    x+4/x>=4・・(2)はいいのですが (x+1/x)(x+4/x)>=2*4=8とならないのです 等号成立を考えるとはっきりします (1)が成立するのは、x+1/x=2よりx=1 (2)が成立するのは、x+4/x=4よりx=2 (x+1/x)(x+4/x)=8を解くと虚数解となります 後半の方法が成立するのは(1)(2)の等号成立が同時に成り立つときのみです

関連するQ&A

  • 相加相乗平均

    相加相乗平均で求めた最小値と、実際の最小値が異なる場合(等号が成立しない)例を教えてください。

  • 相加相乗平均について教えてください

    相加相乗平均というものを習ったのですが、どういうものなのか、どういう時に使うものなのかが全く分かりません。 相加相乗平均というものを使っての最小値、最大値、等号の求め方の解説をなるたけわかりやすく教えていただけないのでしょうか? それと一回解いた問題なのですが、授業でやったもので理解があまり出来ていなくて困っています。なぜこの下記の問題に相加相乗平均を使うのかが分かりません。下記の問題の解説もできればよろしくお願いします。 直角三角形に半径rの円が内接していて、三角形の3辺の長さの和と円の直径との和が2となっている。このとき以下の問いに答えよ。 1、この三角形の斜辺の長さをrで表せ。 2、rの値が問題の条件を満たしながら変化するとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。 以上が問題となります。よろしければ、相加相乗平均を使う問題と使わない問題の見分け方を教えてください。 よろしくお願いします。 1の問題が[x+y=1-2r]、2の問題が[直角三角形のとき最大値1/8]という答えになるそうです。

  • 相加・相乗平均の関係

    相加・相乗平均の関係について質問です。 相加・相乗平均の式は、不等式の証明等でよく使いますし、なかなか自分でも使い慣れてきたとは思うのですが、考えてみると、どうして成立するのか。そもそも、どうして相加・相乗平均の式で最小値が求まるのか、疑問がわいてきました。そこで質問なのですが、相加・相乗平均の式の意味を教えてください。あともう一点、もし証明するようなことが可能であれば、証明の仕方を教えてください。大学受験レベルでは必要ないでしょうか?よろしくお願いいたします。

  • 相加・相乗平均は最小値を示すのでしょうか?

    相加相乗平均の証明なのですが、高等学校の教科書には a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で 左辺-右辺=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0 と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。 でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。 例えば (a+b)^2>=(√2ab)^2とします。 左辺-右辺=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2>=0となり a+b>=√2abということも言えます。等号条件はa=b=0となります 。2√ab>√2abですから相加相乗平均が最小値には思えません。 しかし、2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時。相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。 ただし、2^Xも2^(-X)も0にはなりませんし、等号条件も成り立ちませんので先ほどの方法では間違っていると思えるのですが、根拠がわかりません。分かる方がいたら是非教えてください。

  • 相加平均、相乗平均を使う問題。。

    両端が放物線y=x^2の上にある線分ABの中点をPとする。 点A、Bのx座標をそれぞれ、a,bとし、Pの座標を(p,q)とする。 (1)~(3)は問題のみ書きます。 (1)pおよびqを、aとbを用いて表せ。 (2)積abを、pとqを用いて表せ。 (3)線分ABの長さが4であるときqをpの式で表せ (4)線分ABが長さを4に保って動くとき、qの最小値と、そのときのpの値を求めよ。 という相加平均・相乗平均の関係を使って答えを出す 問題なんですが、どうして、この関係を使って解くか いまいちわかりません。教えてください!! (4)のことです。 ちなみに答えは、 p^2+1/4>0であるから、相加・相乗平均の関係を用いて、 q=1/(p^2+1/4) +p^2+1/4-1/4 ≧2-1/4 =7/4 等号成立は、p^2+1/4=1つまりp=±√3/2のときである。 したがって、qの最小値は 7/4(p=±√3/2のとき) です。よろしくお願いします。

  • 変数の関係に相加相乗平均を使っていいのか

    質問の意味が分かりかねるかもしれませんが、例えば x>0において、x+1/xの最小値を求めよ。 という問題は、相加相乗平均の関係より x+1/x≧2√x*(1/x)=2 ゆえに最小値は2 というように、文字が消えます。 しかし、次の問題 x+y+z=π, x>0, y>0, z>0のとき、sinx*siny*sinzの最大値を求めよ という問題で、 相加相乗平均の関係より sinx*siny*sinz≦{sinx+siny+sinz/3}^3 … (A) 等号成立はsinx=siny=sinzより、x=y=z=π/3 ゆえに、最大値は(√3/2)^3=3√3/8 というふうにやろうとしたのですが、 (A)の時点で変数が残っています。 このやり方は可能でしょうか?

  • 相加相乗平均について

    cosQ=1/2√3(2x+1/x)で、Qが最大になる時xの値は?(x>o) 考えたのですが、 Qが最大→cosQが最小です。 cosQが最小になる時を考える ここで、相加相乗平均より cosQ=1/2√3(2x+1/x)≧1/2√3×2√(2x+1/x)=√6/3 等合成立のときは2x=1/x x=1/√2 相加相乗平均って、どういうときにつかうのですか? どんな問題の時にですか? 今回の式は二次関数でなくグラフ書いて判断無理なので、相加相乗でやるのですか? よくわからないです。 あと、√6/3って、だす必要あるのですか? あと、x=1/√2 ときに、最小値cosQ=√6/3  という意味ですよね。 今回相加相乗でやるようにヒントもらったので、このようにやりました。 どなたか、混乱している私に教えてください。

  • 間違いの理由を教えてください(相加相乗平均)

    x > 0 のとき x + (1/x^2) の最小値を求めよ。 (相加)≧(相乗)の関係から x + (1/x^2) ≧2√{ x ・ (1/x^2) } =2√(1/x)  …* 等号成立は x = (1/x^2) から  x^3 = 1 ∴x = 1 x = 1 のとき最小となるので  * から最小値は 2 微分をしてもとめると正しい解答が得られるのですが,間違いの理由を自分なりにまとめられません。どなたか教えていただければありがたいです。 宜しくお願いします。

  • 相加平均、相乗平均の関係

    x^2+y^2=2を満たす正の数x、yに対して 2/(x^2)+8/(y^2)の最小値と、そのときのx、yの値を求めよ。 この問題って明らかに相加平均、相乗平均の関係を使う問題ですよね? それをつかって最小値が10になったんですが回答には9となっていました 計算間違いとおもって1時間以上も計算しつづけたんですがやはり最小値が10にしかなりえません この問題で相加平均、相乗平均の関係をもちいることは不可能なのでしょうか?それとも私の計算ミスでしょうか?

  • 相加相乗平均で

    相加相乗平均で x>0のとき x+1/x+4x/(x^2+1)の最小値と最小値を与えるxの値を求めよ。 という問題が分かりません。 a=x+1/x、 b=4x/(x^2+1) とおいて相加相乗平均の公式に当てはめてみたのですがあってるでしょうか? ちなみに最小値は4です。 また、最小値を与えるxの値がどうしてもわかりません。 両辺にx(x^2+1)を掛けて計算しようとするとxの4乗の方程式になってしまって解けません。 数学の出来る方、解き方を教えてくださると嬉しいです。