速さの問題

質問

今夜も問題が解けず困っています。

問
路線と平行の道を時速18kmで走る自動車が、反対方向から来る時速72kmの電車と6分おきにすれ違う。電車は何分間隔で運転されているか。

解説
電車がt分間隔で運転されているとすると、一度すれ違ってから次にすれ違う電車は72×t/60（km）後方にいる。電車と自転車は6分後に出会うので、72×t/60=（72+18）×6/60。よって解答は7.5分。

*不明点
なぜ72×t/60で、次にすれ違う電車が求められるとわかるのですか？もしかしたら、(72-18)×t/60かもしれませんよね。また、最初に自力で挑戦した時、何をどうしたらいいか全くわからなかったのですが、どうやってこの式を使えばいい、と発想したらよいのですか？＆できるのですか？

もう勉強しても勉強しても、いざ新しい問題に挑戦するとやったこともない内容の問題ばかりで、いっこうに成果が出ず困っています。

回答No.9

c-beginer

No.5,No.7の者です。
前回、正解はあえて載せませんでした。
すぐ答えを見て、分かったつもりになってほしくなかったからです。
悩んだり、不安だったりでもいいので、自分なりの答えを出すことが
数学を勉強する上では大事だと、私は思ってます。

> ちょっとでも内容が変わると解けなくなりますよね。
> 習っていないパターンに関しては、解き方を知らないので…
ちょっと間違ってますね。例えば、あなたが新しい携帯を買った時に
説明書を1ページ目から読みますか？
今までのとちょっと変わっただけだろうと、いろいろいじくりまわして
新しい機能だとか使い方を覚えますよね（きっと）。
数学も同じで、似たようなパターンはやったことあるからやってみよう
といじくりまわしてほしいです。きっと力になりますよ。

そんなんを繰り返してたら、次第に自分の答えに自信が沸いてきますよ。

----------（No.8さんへのお礼文）-----------------------
> ここの時間はあくまでただの時間であって、何分間隔か、を求める式> としては使えないと思ったからです。
僕の予想では、互いに二つのもの（車と電車）が動いているから
理解できていないのかなぁと思ってたので、No.7のような問題を作っちゃいました。すいません。

では、駅のホームで仁王立ちしていました。すると電車と6分おきにすれ違うことに気づきました。電車は何分間隔で運転されているか？
→Ans. 6分
こんな風に、分からなかったらいったん落ち着いて問題を単純にしてみる手もありますよ。

<<No.7の回答>>
◎正解！（１）１ｋｍ　ですか？ ←自信もって♪
　　　　（２）
◎正解！　（ａ）４分　かもしれない、と思っています。←自信もって♪
×不正解　（ｂ）４０ｍ　とかですか？？
A君がゴールするまでの4分間、B君は走っているので
4分×(10/60)＝2/3km
または、A君が1周10分は分かっているので、
互いの10分間で走れる距離を引いて
10分×(10/60)km/h－6分×(10/60)km/h＝2/3km
理想はの回答は、1時間で4km差が開く。
じゃあ10分間では・・・としてほしかったです。
{(10-6)/60}×10＝2/3km
×不正解　（ｃ）？？？
(b)で1周で2/3km差が開きますので、差が1周分(1km)になるのは
2/3×？周＝1km
∴3/2周の時B君はA君に追いつくので、2周目が答え
　　　　（３）
◎正解！　（ａ）ひょっとしたら、５分かなー、と思いました。
理想の回答は、1時間で(6+10)kmで近づいて行く。
じゃあ二人の合計した距離が1周分(1km)は・・・としてほしいです。
×不正解　（ｂ）最初のすれ違いの１回だけと思いました
ぎり2回でした。残念。同じ速さで二人が反対方向に走っている風景をイメージしてみて下さい。半分走った地点で1回目すれ違い、ちょうどゴール地点で2回目すれ違います。

以上、大学生による通信教育でした。長々とすいません。
数学は、知っている知らないではなく、知ってる材料を元に
思いつく学問です。
では頑張って♪

お礼

またの書き込み、ありがとうございます。

＞僕の予想では、互いに二つのもの（車と電車）が動いているから
理解できていないのかなぁ

記事８のコメント欄の手順を使って解いた場合、あのような疑問点が沸いてきました。

テキストで、「次にすれ違う電車は72×t/60（km）後方にいる」という解説をいきなり読んだときは、車と電車が動いているから、(72-18)×t/60かもしれない、と考えました。そう、車と電車が両方とも動いているからこんがらがってしまったのです。距離＝速さ×時間の知識だけでは、解消されません。

(b)(2)A君が1周した時、B君は何ｍ先にいますか？

4分×(10/60)＝2/3km　これはわかります。しかし、２/３をこの後どうしたらよいのかわからないのです。なんで2/3が一気に4kmになるのですか？？

(c)(3)A君がB君に周回遅れで抜かれるのは、何周目？

「3/2周の時B君はA君に追いつくので、2周目が答え」とありますが、3/2周走ったとき、同時にＡ君もその間走っているので、追いつくということにはならないと思いました。これは、Ａ君が立ち止まっている時にのみ通用する式ではないのですか？

(b)そのまま逆走し続けたままとしたら、A君が1周するまでに何回すれ違いますか？

何分後にすれ違うか、がわかったので頭の中でイメージはしやすかったです。ゴール地点でちょうど２回目にすれ違いということは、同時に２週目に入っているということであり、１週目のときは一回しかすれ違わない、という風に考え、「最初のすれ違いの１回だけ」と解答しました。