慶応女子高の問題 解いてください！

質問

東西に伸びる線路に沿った道をバスで西から東に進んでいたところ、
１０時ちょうどに東行きの普通電車Aに追い越され、
その４０分後に後続の普通電車Bに追い越された。
　また、このバスは、１０時a分に西行きの特急電車Cとすれ違ったが、
AとCはその２分前にすれ違っていたという。
　普通電車は時速５０ｋｍ、特急電車は時速１００ｋｍ、バスは時速xｋｍのそれぞれ一定の速さで走っている。
　また、普通電車A,Bは１０分間隔をあけて運行されている。
　このとき、xおよびaの値を求めなさい。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

ｘを求めるのとａを求めるのは別々に考えましょう。（ｘがでないとaはでませんけど。）

先ず、ｘです。
バスが普通電車Ａに追い越された地点をＰ，普通電車Ｂに追い越された地点をＱとします。
すると普通電車ＢがＰを通る時間は10時10分になります。
バスが普通電車Ｂに追い越された（Ｑを通る）時間は10時40分ですね。
したがって、普通電車ＢがＰからＱへ移動するのにかかった時間は30分になります。時速50kmですから、ＰＱ間の距離が分かります。
バスはＰＱ間を移動するのに40分かかったのですから…。あとは自分でやってみましょう。

次にaです。
バスが特急電車Ｃとすれ違った地点をＸ、普通電車Ａが特急電車Ｃとすれ違った地点をＹとします。
ＡとＣは2分前にすれ違ったわけですから、ＸＹ間の距離がわかります。（2分間Ｃが移動した距離になります。）

ＰＹ＝ＰＸ＋ＸＹですから、ＰＹを普通電車Ａの移動した距離ということと、バスの移動した距離ということでＰＸを用いて式をたて、両方が等しいことからＰＸを求めれば、a分も求まります。

お礼

hinebotさま　回答いただきありがとうございます。方程式の問題の中でも、特に乗り物系が不得意なので、丁寧に説明していただいてよく分かりました。

回答No.5

sankonorei

一次関数で解きましょう。Ｙ軸を距離、Ｘ軸を分として、まず、バスとＢの関係、原点を１０時と考えると、バスは原点を通る右上がりの直線で
ｙ＝ｍ／６０ｘ　バスの時速をｍとしています。
Ｂはｙ＝５／６ｘ－２５／３　　（バスの傾きのほうがちさいですよ。）　　このＢのｘに４０分を代入するとｙ＝２５となりますから、ｍ＝３７．５ｋｍ／ｈ　でバスの時速が求まります。次に、Ａの直線はバスと同じ時刻で同じ距離にいますからこれも原点を通る直線ｙ＝５／６ｘ
次に、Ｃの直線はｙ＝－３／５ｘ＋ｂ　（ｂは切片）
Ａ，Ｃの交点は　５／６（ａ－２）＝－５／３（ａ－２）＋ｂ
　Ｃとバスの交点は　３７．５／６０ａ＝－３／５ａ＋ｂとなり、この連立方程式を解きます。（減算でｂを消去）すると　ａ＝２４　となります。
　時間,速さ、距離の関係は殆ど一次関数で解けますから、必ずグラフを書いて目で確かめましょう。難しい様に見えますがグラフで一目瞭然です。

お礼

sankonoreiさま　回答いただきありがとうございました。X軸Y軸のグラフを描いて考えると本当にわかりやすいですね。乗り物が出てくる問題がとても苦手ですが、グラフを正しく描くことが出来れば何とかなりそうな気がしてきました。

回答No.4

kony0

算数でも解けます。

バスが普通電車Aに10時ちょうどに追い越された地点・・・地点(1)
バスが普通電車Bに10時40分に追い越された地点・・・地点(2)
特急列車Cとバスがすれ違った地点・・・地点(3)
特急列車Cと普通列車Aがすれ違った地点・・・地点(4)
CとAがすれ違ったときにバスがいた地点・・・地点(5)

・地点(1)(2)間の時間・・・
　バスでは40分かかる。普通電車では30分かかる。よってバスと普通電車の速さの比は3:4だから、バスの時速は50*(3/4)=37.5(km/h)

・地点(1)(4)の距離：地点(1)(3)の距離＝普通電車の速さ：バスの速さ＝4:3
・地点(3)(4)の距離：地点(4)(5)の距離＝特急電車の速さ：バスの速さ＝8:3
この連比をとると、(1)(4)間:(4)(3)間:(3)(5)間＝33:3:8
バスは(4)(3)間を2分でいくので、(1)(4)間は22分。→a=24

ダイヤグラムをかけば、この考えも難しくないです。慶応女子を受けるくらいなら、中学受験で算数をしこたま勉強しているでしょうし、うまく数学と算数を使い分けると、方程式をたてるにせよ見通しがよくなります。

ただし、これを中1の教材とするならば、小学生のときに勉強した中1は、やおら数学を学ばずに算数で解いてしまおうとしてしまうので、これを封じる必要があります。
普通の難関校レベルの数学なら既にさらっと解けてしまう慶応女子志望の中3には、逆に算数的解法も教えてあげていいかとも思うのですが。

なお、この問題は、特急：普通電車の速さの比が2:1であることが与えられていれば、aは求められます。こういう条件の与えられ方だと、かえって問題は難しくなりますね。

お礼

konyOさま　回答いただきありがとうございます。前にも一度お世話になってます。今回もとても詳しく教えていただきよく判りました。ただ、乗り物が出てくる問題は苦手で、頭が混乱してしまいます。ダイヤグラムというのを描くと判りやすいそうですが、自分ではなかなか・・・教えていただいた説明を、一生懸命判るまで考えることで精一杯です。

回答No.3

gramin

Aの普通電車がバスを追い越した地点を仮に「池袋」とします。「普通電車A,Bは10分間隔をあけて運行されている」ので池袋をBの普通電車が通ったのは10:10ですね。そして、10:40にBの普通電車がバスに追いついた地点を仮に「渋谷」とします。30分間でバスに追いついたということです。Bは普通電車なので時速50kmで30分間に進む距離は、50*30/60＝25(km)です。池袋と渋谷の間は25kmです。
バスは池袋を10:00に出て、渋谷に10:40についているのでバスは40分間に25km進んでいます。バスの速さは、x＝25/（40/60）＝▲（km/時）です。

10時a分のバスの位置は、仮に「新大久保」とします。池袋から測って(a/60)*▲5です。
10時(a-2)分に普通電車Aが特急電車Cとすれ違いますが、この場所を仮に「新宿」とします。すると、池袋と新宿の距離は{(a-2)/60}*50です。
その2分後に特急電車Cはバスと新大久保ですれ違います。すると、新宿と新大久保の距離は(2/60)*100です。
以上をまとめると、
「池袋～新大久保」＝「池袋～新宿」－「新宿～新大久保」なので、
(a/60)*▲＝{(a-2)/60}*50-(2/60)*100
これを整理すると
a＝●●(分)
なお、仮に用いた地名は実在する地名とは何ら関係がありません。
このくらいのおふざけは数学の先生も許してくれるかな？

お礼

graminさま　回答いただきありがとうございます。実在する地名を入れると、楽しいですね。田舎者なので池袋も渋谷も行ったことないけど、少し数学嫌いが薄れます。

回答No.2

hinebot

済みません。1箇所だけ訂正します。
>ＰＹ＝ＰＸ＋ＸＹですから、ＰＹを普通電車Ａの移動した距離ということと、バスの移動した距離ということでＰＸを用いて式をたて、両方が等しいことからＰＸを求めれば、a分も求まります。

上の説明は間違いです。
ＰＹを普通電車Ａが移動した距離（10時a分の2分前にＹにいる＝Ｐから(a-2)分間移動した距離ですね）とＰＹ＝ＰＸ＋ＸＹすなわちバスが移動した距離＋ＸＹということから、aを用いて表し、同じＰＹだから＝で結んで一次方程式を解けばaが求まります。

一応答えも書いておきます。（計算間違いしてなければですが）
x＝ 75/2(＝37.5) a＝24 です。