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Zornの補題の意味は何？
waseda2003の回答
- waseda2003
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明らかに，初めに（Zornの補題の中で）述べて いる「有界」とあとから（反例の中で）述べてい る「有界」とでは，意味が異なっていますね。 言葉の意味や前提条件をルーズにすると， 混乱のもとになります。 誤解しないように表現するなら，Zornの補題は 「順序集合Aの任意の全順序部分集合Bが Bにおいて極大元を持つならば，Aにおいても 極大元を持つ」ということです。 例えて言えば，「どの地域にも他の誰にも負けない 力持ちがいるのなら，世界中で考えても誰にも負け ない力持ちがいるはずだ」と主張しているのです。 たぶんそうだとは思えるけれど，「実際いるのか？」 と言われれば自信が持てないので， Zornさんはスゴイ！というわけです。 rose12345さんが用いている集合論の教科書は どのように書かれているかわかりませんが， 集合論においては，定義された集合の外は 議論ができないので，「有界」と言えば その集合の中に限界が存在するという意味 なのでしょう。 他方，微分積分学では区間（0，2）を議論の対象 としていても，全実数Rが全空間であることを前提 とすることが多いので，上限・下限が区間内には ない場合もあるのです。
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お礼
Zornの補題の意味の説明と全順序集合 A が有界であることの意味を直感的に分かりやすく説明をしてくれて、どうもありがとうございます。今まで、わけが分からないので、無視してきましたが、今、その意味を知り、とても驚いています。Zornの補題がそんなにすごい意味を持っているとは知りませんでした。とても分かりやすく丁寧な説明のおかげです。