順序集合

質問

自然数の順序集合(N,|)について　A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}に対し,n|m⇔∃k[m=nk](nはmの約数)の順序関係のもとでAの最大元,最小元,極大元,極小元,上限,下限を求めよ(存在しない場合は「存在しない」と解答)

最大元:存在しない,最小元:1,極大元:6,7,8,9,10,極小元:1,上限:2520,下限:1・・・参考書をいろいろ読んで考えたのですが、最大元～下限の各語句の意味があまり理解できず答えに自信がないので、なぜそれが答えなのかと聞かれた場合きちんと説明ができません。どなたか詳しく説明してもらえないでしょうか

回答No.5

gatch_ky

6がなぜ極大元か言うよ。
6の倍数はAの中には6自身しかないからです。
4の倍数は4,8と二つあるから4は極大元ではないです。

1がなぜ極小元か言うよ。
1の約数はAの中には1自身しかないからです。
1以外の数は全て1を約数に持つから極小元ではないんです。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます、おかげで理解できました。
またよろしくお願いします。

回答No.4

koko_u_

>最小の数(最小公倍数)は1*2*3*2*5*7*2*3=2520となる。
最小の数が存在することを補足して欲しかったんだけど、
まぁオマケしときましょう。

>極大元・極小元求めかたがわからないというよりは
> 定義自体がきちんと理解できないんです
であるなら、なおのこと A の各元に対して定義を満たすかどうかを
自分でひとつずつ確認することが理解の助けとなるでしょう。

お礼

ありがとうございます。やってみます。
またよろしくお願いします。

回答No.3

koko_u_

>A のある元 M が A の任意の元 a に対し a|M を満たすとき M を A の最大元：
>A の任意の元 a すべてが約数となる A の元 M は存在しないので「存在しない」
「M が存在しない」証明を補足にどうぞ。

>A のある元 m が A の任意の元 a に対し m|a を満たすとき m を A の最小元：
>A の任意の元すべては 1 を約数としてもつので A の最小元は「1」
こっちはこれでよろしかろう。

>A の任意の元 a に対して a|s が成り立つような s を A の上界といい
> 上界の最小元を上限：
>A の元すべてに対し関係｜が成り立つ最小の数は 1~10 の最小公倍数なので2520
2520 が最小であることの証明を補足にどうぞ。

>具体的には極大元・極小元の求め方がよくわかりません
A は所詮有限集合なので、1 個ずつ定義を満たすかを確認しましょう。

補足

最大元：最大元Mは集合Aの中にある元です。例えば任意の元a=1として1が約数となる元は1~10すべて(Mの候補は1~10)。a=2ならば2が約数となる元は2,4,6,8,10(a=1とあわせてMの候補は2,4,6,8,10に絞られる)。a=3ならば3が約数となる元は3,6,9(a=1,2とあわせてMの候補は6)。a=4ならば4が約数となる元は4,8。a=3まででMとなる元は6のみとなったが6は4を約数としない。ここでAの任意の(すべての)元aに対しa|MとなるAのある元Mは存在しない

上限：最大元が存在しなかったためAのすべての元aに対しa|bが成り立つような数(上界)は1~10の公倍数である。上限は上界の最小元であるので1~10の公倍数における最小の数(最小公倍数)は1*2*3*2*5*7*2*3=2520となる。

極大元・極小元求めかたがわからないというよりは定義自体がきちんと理解できないんです(言葉少なですいません)。なので考え方・解き方を教えてもらえると助かります。

回答No.2

kabaokaba

>n|m⇔∃k[m=nk](nはmの約数)の順序関係のもとで
まずこれが「順序」であることを証明できますか？

>最大元～下限の各語句の意味があまり理解できず
あなたが読んでいる本にはどうかいてますか？
お約束なのは「極大元と最大元」「極小元と最小元」の違いが
わからないとか，上限・下限以前に「上界」「下界」が分からないという
あたりですが．

なお，この問題でいちばん厄介なのは「上限が2520」ですが，
これは最小公倍数が 2520 だということです．

補足

1)反射律
　n自身はnの約数でもあるから,n|n
2)推移律
　n|mかつm|kのとき
　m=an(aは自然数)－(ァ)
　k=bm(bは自然数)－(ィ)
　(ィ)に(ァ)を代入すると
　k=abn
　abは自然数だから,nはkの約数であり n|k
3)反対称律
　n|mかつm|nのとき
　m=an(aは自然数)－(ゥ)
　n=bm(bは自然数)－(ェ)
　(ェ)に(ゥ)を代入すると
　n=abn
　上式を満たす自然数の積abは1しかない．すると
　ab=1(a,bは自然数)⇔a=b=1
　したがって(ゥ),(ェ)どちらからでも
　n=m
　　1),2),3)より順序関係が成立するので
　　n|mは順序関係である．

証明はこれで示しました。
具体的には極大元と極小元の考え方が分りません

回答No.1

koko_u_

>参考書をいろいろ読んで考えたのですが
考えた内容を補足欄に書きましょう。

答だけ書かれていてもアドバイスできません。
参考書を色々読んでどこら辺が理解できないのかが重要です。

補足

Aのある元MがAの任意の元aに対しa|Mを満たすときMをAの最大元：Aの任意の元aすべてが約数となるAの元Mは存在しないので「存在しない」
Aのある元mがAの任意の元aに対しm|aを満たすときmをAの最小元：Aの任意の元すべては1を約数としてもつのでAの最小元は「1」
Aの任意の元aに対してa|sが成り立つようなsをAの上界といい上界の最小元を上限：Aの元すべてに対し関係｜が成り立つ最小の数は1~10の最小公倍数なので2520
Aが最小元ｍを持てばｍはAの下限：よって1
Aのある元sに対しa|sとなるAの元aが常にs=aとなるときsは極小元,s∈A∧∀a∈A[￢(a|s)] s:
Aのある元ｓに対しs|aとなるAのa元が常にs=aとなるときsは極大元s∈A∧∀a∈A[￢(s|a)] s:
:

こんなところです。具体的には極大元・極小元の求め方がよくわかりません。極小元は最小元・下限が1だからと・・・。極大元は人に聞いたので答えとして載せていますが自分ではまだわかっていません。他のについても考え方に間違えがあれば指摘してください。