微分・積分

質問

次の条件を満たす関数F(x)を求めよ

(1)
F'(x)=6x2乗、F(0)=1

(2)
F'(x)=x2乗+4x-5、F(3)=8

次の放物線とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ

(1)
y=x2乗+2x-3

(2)
y=4-x2乗
お願いします
教えてください。。。

回答No.3

zyunyu

とりあえず、不定積分すると
(1)F(x)=2x3乗+c (2)F(x)=1/3x3乗+2x2乗-5x+c
となる。
それぞれ、F(0)=1 F(3)=8より
C=1, C=-4
ゆえに、(1)F(x)=2x3乗+1 (2)F(x)=1/3x3乗+2x2乗-5x-4
となる。
ようするに、もともとの関数微分して出てきた導関数がF'(x)なので積分して、不定数Cを特定したら終わり。
なので　Z=∫ydx により求めて、範囲は(1)は因数分解すると、
y=(x+3)(x-1)となり、y=0のとき交点が求まるので、
x=-3,1 よって、範囲は（-3<x<1)
あとはその範囲で定積分して求める。

面積は、定積分すれば求まる。X軸との間ってことは交点求めてその間について積分したら終わり。
(2)は同様にしてとくが、関数がyについて負の範囲である場合、x軸について対照な関数を同じ範囲について積分して求める。
　とりあえず、基礎的なことなので、積分の意味、微分の意味およびそれが何であるかなどよく理解しておくことが必要だ。

回答No.2

shuzen

（１）

F'(x)=6x~2　F(0)=1
F(x)=(1/3)×6x~3+C　…☆
F(0)=0+C=1 → C=1

☆にC=1代入して、　F(x)=2x~3+1

（２）

F'(x)=x~2+4x-5　F(3)=8
F(x)=(1/3)x~3+(1/2)4x~2-5x+C　…☆
F(3)=(9+18-15)+C=8 → C=-4

☆にC=-4代入して、　F(x)=(1/3)x~3+2x~2-5x-4

（３）

ｘ軸との交点を出します。
y=x~2+2x-3
y=(x+2)(x-1)
x=「1」,「-2」　←このとき、ｘ軸と交わる。

面積S(x)を公式から出します。
S(x)=∫(y)　※「-2」から「1」の範囲で積分
S(x)=∫(x~2+2x-3)
S(x)=[(1/3)x~3+(1/2)2x~2-3x]　※範囲は「-2」から「1」
S(x)=S(1)-S(-2)　※上の式にそれぞれ代入
S(x)=32/3

（４）

(3)と同様にやります。
y=4-x~2
y=-x~2+4
y=-(x~2-4)
y=-(x+2)(x-2)

　（略）

こうしていくと 面積S=64/3 じゃないでしょうか？

私も記憶があいまいなので、
確信は持てません…(´・ω・`)

お礼

ありがとうございます。。。
(1/3)x~3←これって3分の1x3乗ですか？
(1/2)4x~2←これも同じですか？

回答No.1

info22

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