行列の計算 数C程度

質問

おそらく、非常に初歩的な問題だと思うのですが、どうしてもうまくとけません。以下の問題を教えてください。

行列Ａ=[1 -2] 行列Ｐ=[1 q] 行列ＱＡＰ=[α　0]
　　　　　[1 　4]　　　　　[r　s]　　　　　　　　[0　β]
※ＱはＰの逆行列 すなわち、　　Ｑ=[ s -r]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[-q　s]

このとき、
「上記のＱＡＰとなるように行列Ｐのq,r,sを求めよ。」またそれに対するα,βの値を求めよ。ただし、α>β , s-qr」

ＱＡＰを計算し、対角行列であるから、(1,2)成分と(2,1)成分が０になることを利用して、連立方程式で解こうと思ったのですが、
r=-1,-1/2　は求まるのですが、　q,sが求めることができません。
どなたかq,r,sの求め方を教えてください。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

質問者さんは高校生ですか？ならば何も言いませんが、
大学生なら固有値と固有ベクトルで求めましょう。
(αとβは真っ先に3,2と求まります)

まず、
P=
1　q
r　s

の逆行列Qは
(s-qr)Q=
s　-q
-r　1

ですね。書き間違えているかそもそも間違っているか分かりませんが。。。

逆行列を使う以外に
QAP=
α　0
0　β
これを行列Tとして両辺に左からPをかけるとPQ=E(単位行列)から
AP=PT
成分計算をすると
1-2r=α
1+4r=rα
q-2s=qβ
q+4s=sβ
からα、βを消去してもいいです。
ことろで、q,sは一意には決まりません。というか、求めた式を満足する
q,sならみな、当てはまります。もしかして途中で消えている
>ただし、α>β , s-qr」
はs-qr=1でしょうか？それなら連立方程式になってs,qは決まりますが。。。

補足

大変申し訳ありません。書き漏らしてしまいました。

s-qr=1
です。

ちなみに大学生です。
この先にAのn乗の計算に移っていくのですが、
おそらく、連立方程式が解けてないだけなのか・・・
すみませんよろしくお願いします。

回答No.2

age_momo

大学生さんでしたか。。。本来なら線形代数でこんな質問があったら
スルーするのですが(固有値の勉強をしなおしてくださいぐらいは書くかも)
乗りかかったので少し書いておきます。

>連立方程式が解けてないだけなのか・・・
普通は連立方程式は立てません。
こう考えます。(どんな線形代数の本にも載っているはずです)

QAPが対角行列T=
α　０
０　β
になるのなら
AP=PT
Pが
a b
c d
ならPTは
αa　βb
αc　βd
見比べるとPの
a
c
成分が
αa
αc
これは1×2の行列U(普通はベクトルと解釈します)をAにかけると
AU=αU
になることを示している。αU=αEUから
1-α　-2　　　　　a　　0
1　　　4-α　×　b　=　0
これが逆行列を持っていると矛盾が生じるので
(1-α)(4-α)-(-2)*1=α^2-5α+6=0
α=3,2　α>β　よりα=3、β=2　これが固有値
Aから3Eを引くと
-2 -2
1　　1
これにかけて0行列になるにはa=-b　a=1からb=-1
Aから2Eを引くと
-1 -2
1　2
これにかけて0行列になるには2c=-d
ad-bc=d+c=1より
d=-1,c=2

こういう風に単に定数倍されるだけのベクトルを
固有ベクトルと呼びます。
基本をよく勉強してください。