連立微分方程式について

質問

工学部４年で卒研をしているのですが、
以下の連立微分である非線形のカオス系の結合システムの誤差ダイナミクスが以下のようになります。
そこで偏差がゼロになるような結合ゲインKの条件を求めたいのですが
非線形項がどうもきになり思うようにいきません
何かしら線形化するようなことはできないのでしょうか？
微分方程式は時間関数です。

e1=x1-x4
e2=x2-x5
e3=x3-x6
α=-1/0.27
連立微分方程式
e1'=(α-K)e1-αe2
e2'=-2.8αe1+α/10e2+10α(x1x3-x4x6)
e3'=α/3.75e3-2.5α(x1x2-x4x5)

回答No.2

noname#57316

伝達函数を求める時に線形化を行いますが、その方法が適用できるとして微分方程式を導いてみます。

時刻、t～t+δt　の間の変化量を求めます。
時刻　t　の時：
e1=x1-x4
e2=x2-x5
e3=x3-x6
α=-1/0.27

時刻　t+δt　の時：
e1+δe1=(x1+δx1)-(x4+δx4)
e2+δe2=(x2+δx2)-(x5+δx5)
e3+δe3=(x3+δx3)-(x6+δx6)

連立微分方程式を以下のように書きます。
(d/dt)e1=(α-K)e1-αe2
(d/dt)e2=-2.8・α・e1+(α/10)・e2+10・α・(x1・x3-x4・x6)
(d/dt)e3=(α/3.75)・e3-2.5・α・(x1・x2-x4・x5)

これに、時刻　t+δt　の時の変数群を代入します。
(d/dt)(e1+δe1)=(α-K)・(e1+δe1)-α・(e2+δe2)
(d/dt)(e2+δe2)=-2.8・α・(e1+δe1)+(α/10)・(e2+δe2)
　　　　　　　+10・α・{(x1+δx1)・(x3+δx3)-(x4+δx4)・(x6+δx6)}
(d/dt)(e3+δe3)=(α/3.75)・(e3+δe3)
　　　　　　　-2.5・α・{(x1+δx1)・(x2+δx2)-(x4+δx4)・(x5+δx5)}

これらから、二次の微分の項を省略し線形化すると
(d/dt)δe1=(α-K)・δe1-α・δe2
(d/dt)δe2=-2.8・α・δe1+(α/10)・δe2
　　　　　　　+10・α・{(x1・δx3+x3・δx1)-(x4・δx6+x6・δx4)}
(d/dt)δe3=(α/3.75)・δe3
　　　　　　　-2.5・α・{(x1・δx2+x2・δx1)-(x4・δx5+x5・δx4)}

後は、以下の様にして変数の数を減らしていくのでしょうか。
(d/dt)〔δe1・e^{-(α-K)・t}〕=-α・δe2・e^{-(α-K)t}
(d/dt)〔δe2・e^{-(α/10)・t}〕=-2.8・α・δe1・e^{-(α/10)・t}
　+〔10・α・{(x1・δx3+x3・δx1)-(x4・δx6+x6・δx4)}〕・e^{-(α/10)・t}
(d/dt)〔δe3・e^{-(α/3.75)・t}〕
　=〔-2.5・α・{(x1・δx2+x2・δx1)-(x4・δx5+x5・δx4)}〕・e^{-(α/3.75)・t}

回答No.1

noname#69788

行列を使ってみたらいかがですか。

補足

行列を使う以前に高次の非線形項があるので
行列を使いにくいと思うのでまず線形化を考えていたんです。