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内接円について

3cm、4cm、5cmの直角三角形があるとして中に円が各辺に接しているとする。このときの円の半径を出せって言われたら、普通は 三角形の面積=各辺の和×円の半径÷2から算出しますよね。 では、この三角形の中に、横に一列にn個の円が並んでいて(全て同じ半径の円、その半径をnを使ってあらわせって言われたらどうやってだしますか? 三角形ABCを書いて、一番頂点をAとして、時計周りにBCと頂点を定めます。角度A=90度、AB=4cm、BC=5cm、CA=3cmです。 いま、BCに接する円がn個あり、右端の円が、ABとBCに接していて、左端の円が、BCとCDに接しているとします。右端の円の中心をOR、左端をOLとすれば、頂点AとOR、OLを結び、ORとOLも結びます。端っこと真ん中に三角形そして、下に台形ができたので、この面積と直角三角形の面積が等しい事を利用して半径を算出する方法を考えたのですが、あまりうまいやり方ではないようなきがします。ほかに何か出す方法ってありますかね?

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  • 回答No.2
noname#71905
noname#71905

O(R)を通りBCに垂直な直線と、ABとの交点をP,BCとの交点をQ O(L)を通りBCに垂直な直線と、ACとの交点をR,BCとの交点をS とします。 ●△PBQと△RSCの辺PQ,RSを重ねて出来る三角形を△A'B'C'とすると △A'B'C'∽△ABCとなり、△ABCに内接させたn個の円のうち1つが内接しています (左端の半円と右端の半円) (1)内接させたn個の円の半径をrとすると、QS=2r(n-1) となり BC=5 から、B'C'=5-2r(n-1)となります。 (2)△A'B'C∽△ABCから、A'B'=4k,B'C'=5k,C'D'=3k として 内接円の半径rを考えると、r=k となり、B'C'=5rと表せます。 (1)(2)より、5r=5-2r(n-1) で、r=5/(2n+3) と求められます。

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質問者からのお礼

うまいね、面白いやり方です。これは非常に楽に求められる方法ですね

  • 回答No.1
  • hiccup
  • ベストアンサー率27% (12/44)

n 個並んで接しているとき半径を r とすると、隣り合う2円の接点の距離は 2r ですが、右端と左端のそうでない部分をあわせると、それは1個の円が相似な三角形に接しているときの底辺と同じものとなります。 そこから求められます。 もしかして削除?

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