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方程式・不等式の証明です。 ： １
Ｑ：次の式を証明せよ。 x^3＞y^3 のとき x＞y 考え方が分からないので、歯が立ちません。
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x>0,y>0,z>0,√x+√y+√z=1のとき、次の式を証明せよ。 (x^2+yz)/√{2x^2(y+z)}+(y^2+zx)/√{2y^2(z+x)}+(z^2+xy)/√{2z^2(x+y)}>=1 考えたのは、次のようなことです。 (1) a=√x,b=√y,c=√zとおいて、a+b+c=1、与不等式も、a,b,cの式に置き換えてみた。 次数が大きくなるだけで、見やすくはなっていないように思った。 (2) 相加相乗平均から分母√{2x^2(y+z)}=<(2x^2+y+z)/2=x^2+(y+z)/2 よって、(x^2+yz)/√{2x^2(y+z)}>=(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2} 他の２つの項も同様にして、 (x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}+(y^2+zx)/{y^2+(z+x)/2}+(z^2+xy)/{z^2+(x+y)/2}>=1 を示せばよいと思いました。 どうやって、右辺の１に持って行くかで、２つ考えました。 ア．(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}>=1/3を示して、残り２項との和から右辺１に持って行く。 イ．(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}>=√x/{□+□+□} なる式を考えて、残り２項との和から示す。 ウ．(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}=1+{(yz-(y+z)/2}/{x^2+(y+z)/2}として考える。 (3) コーシー・シュワルツが使えないかも考えたが、どんな式に持って行けばよいのか、わからず。 よろしくアドバイスをお願いします。
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x>0,y>0,z>0で、xyz>=0を満たすとき、 x^2/(x^5+y^2+z^2)+y^2/(x^2+y^5+z^2)+z^2/(x^2+y^2+z^5)=<1を証明せよ。 x^2/(x^5+y^2+z^2)=<□/(x^2+y^2+z^2)となるために□に何がくればいいのかを考えました。 同様に、y^2/(x^2+y^5+z^2)、z^2/(x^2+y^2+z^5)の場合を考えて、この３式を加えたとき、 右辺が１になるか、または、１以下を示せればいいと思いました。 しかし、□に当てはまる式を、yz、y^2z^2、xyz、などと考えましたが、うまくいかず。 また、分母を変えてみようかとも思いましたが、先ずはこれで通そうと思いました。 よろしく、アドバイスお願いします。
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