一般の場合のローレンツ変換の導出

質問

「マルスウェルの理論の基礎」(太田浩一)のp.34に、

座標の原点が一致した瞬間を時間の原点t=t'=0に取ると、K'系のx'=0はK系のx = utに対応するから、座標の線形変換は

t' = γt + δu・x、x' = ε(x - ut) + ηuu・(x - ut)

の形に書ける。（x、uは位置と速度の3次元ベクトル、・は内積)

とありますが、なぜこのように書けるか分かりやすい説明をお願いします。

回答No.6

eatern27

>>速度との内積であれば座標軸の選び方を変えても値が変わらない(uも座標軸
>>の選び方を変えればuの成分が一緒に変わるため)ので
>がポイントですか？

まぁ、そうですかね。
内積って長さと相対角度だけで決まるので、座標軸の選び方とは無関係に値が決まる量ですよね。

回答No.5

eatern27

「特定の座標系」だけを考えていたのでは、u・xのような項が出てくる理由は永久に分かりません。

現実の空間には座標軸なんて存在しないし、空間は等方的なので、どの座標軸を選ぶかは、単なる好みの問題です。(同じ慣性系にいても)Ａさんはxyz軸で、ＢさんはXYZ軸で考えているかもしれません。
逆に言えば、好みの問題であるからこそ、どの座標軸を選ぶかで結果が変わってしまっては困るということになります。こういう色んな座標軸の選び方を考えた時に、座標系の選び方に"よらない"変換則を考えると、
>t' = γt + δu・x、x' = ε(x - ut) + ηuu・(x - ut)
のような形が得られるんです。

t'は時間なので、座標軸の選び方を変えたからといって値が変わるものではありませんよね。従って、t'＝・・・の右辺も座標軸を変えても値(形も)が変わらないものでなければいけません。

例えば、Ｋ'系の速度ｖ(の向き)によらない、ベクトルaに対して、
t' = γt + δa・x
のような形だとすると、Ｂさんの座標軸の選び方でも、
t' = γt + δa・X
となっていなければいけません。しかし、一般にはa・x≠a・Xなので、これは座標軸を変えても値が変わらないという事に反します。a・xのような項は、t'=・・・の右辺に入れないという事です。

速度との内積であれば座標軸の選び方を変えても値が変わらない(uも座標軸の選び方を変えればuの成分が一緒に変わるため)ので、t'＝・・・の右辺に入る資格があるんです。

２つのベクトルx,uからは、このようなものは他に作る事ができないので、
>t' = γt + δu・x
のようになるんです。

x'の方も同様です。
x'はベクトルなので、右辺もベクトルじゃないといけません。
Ｋ系の量のベクトルとしては、u,xしかないので、x'はこれの線形結合となります。その係数はt'のように座標軸の選び方によらないもの(スカラー)でなければいけません。
そのようなものは、tとu・xしかありません。x,tについて1次なので、
ut、(u・x)u、x
の３つの線形結合で書けることになります。今は、x=utで、x'=0である場合を考えているので、
>x' = ε(x - ut) + ηuu・(x - ut)
という事になります。

う～ん、言葉で説明しにくいのですが、分かりますかね？

お礼

長い回答ありがとうございました。

なんとなく分りました。まだ、明解に理解できたとはいえませんが、

>速度との内積であれば座標軸の選び方を変えても値が変わらない(uも座標軸
>の選び方を変えればuの成分が一緒に変わるため)ので

がポイントですか？

回答No.4

eatern27

>tの1次の項γtはわかるのですが、xの1次の項の内積u・xの意味を教えてください。
「内積u・xの意味」とはどういう事を聞いているのでしょう？
内積の定義が分からない、という訳ではないですよね？

補足

内積の定義が分らないのではなく、相対速度uとxの内積がなぜあるのかということです。線形変換だから、t' = γt + δ1x1＋δ2x2 + δ2x2 + δ3x3ですよね。なぜ、あえて、t' = γt + δu1x1＋δu2x2 + δu2x2 + δu3x3 としているのかということです。

回答No.3

connykelly

ローレンツ変換はガリレイ変換を一般化した一次線形変換ということで
（x',t'）は（x,t）の一次関数x'=Ax+Bt、t'=Ct+Dx　で与えられるというものですね。

>なぜこのように書けるか分かりやすい説明をお願いします。

物理的な意味は＃２のeatern27さんのご回答通りと思います。計算的にはどうなるかということについては以下を参照してみてください。ちょっと骨が折れるかもしれませんが難しいものではありません。

http://astr.tohoku.ac.jp/~chinone/
　　　　↓
「特殊相対性理論」

参考URL：

http://astr.tohoku.ac.jp/~chinone/

補足

回答ありがとうございまいた。

参考URLを見たのですが、わかりませんでした。
No2の回答欄の質問が分れば、説明をお願いします。

回答No.2

eatern27

空間の等方性から来てるんでしょう。

t,x,uを組み合わせて作れる量のうち、空間部分の回転に関して不変(スカラー)で、x,tに関して1次のものはtとx・uだけです。t'もスカラーなので、t'はこの２つの線形結合となります。(係数γ,δはuの大きさに依存してもいいですが、uの向きには依存しません)

x'の方もベクトルとして変換するものを考えるだけです。

お礼

回答ありがとうございました。
>x,tに関して1次のものはtとx・uだけです。
tの1次の項γtはわかるのですが、xの1次の項の内積u・xの意味を教えてください。

>x'の方もベクトルとして変換するものを考えるだけです。
こちらの方もuu・(x - ut)の意味を教えてください。

回答No.1

A-Tanaka

こんにちは。
>「マルスウェルの理論の基礎」(太田浩一)
太田浩一氏は、電磁気学の研究者で、一部電磁気学的な記述が多く見られます。しかしながら、ローレンツの導出したローレンツ変換では、電磁気学からの導出が多く見られます。

一般的には、力学的ガリレイ変換からローレンツ変換への導出によって、一般化を行いますが、この書籍では電磁気学パラメータを中心にして導出をされているようです。

実際に、須藤靖氏の書かれた一般相対性理論入門でも、まず力学的ガリレイ変換の説明後、電磁気学的なマクスウェルの波動方程式との比較を行い、電磁気学はガリレイ変換に対して不変ではないことの説明を行っています。

そこから、一般化へと結びつき、ローレンツ変換の導出へ繋がるわけです。

しかしながら、本質問においては、前後の文脈が欠落しているため、お答えできません。