｛線形代数｝対称変換の問題

質問

三次元の対称変換の問題について教えていただきたいです。

「R^3∋a=(a,b,c) ||a||=1とする。
三次元空間内の原点を通る直線r= {ta|t∈R}
に関する対称変換の表現行列をもとめよ」

という問題です。
点ｘが対称変換によって線の反対側に移る（点T(x)）のはわかるのですが、||a||=1はどういう意味なのか、わかりません。

線形代数、ちょっと苦手なので詳しく解説していただきたく、
よろしくお願いいたします！

回答No.3

noname#101466 · ベストアンサー

xのaへの正射影の変換をfとすると、
f：x→{(a・x)}a/||a||^2
(a・x)は、aとxの内積

対称変換g(x)は、
g:x→2・[{(a・x)}a/||a||^2-x]+x、
2×(正射影のベクトル-点xのベクトル)+(点xのベクトル)

と表わされる。e1、e2、e3の標準基底に対する変換は
g(e1)=2・[{(a,b,c)・(1,0,0)}(a,b,c)/||a||^2-(1,0,0)]+(1,0,0)
g(e2)=2・[{(a,b,c)・(0,1,0)}(a,b,c)/||a||^2-(0,1,0)]+(0,1,0)
g(e3)=2・[{(a,b,c)・(0,0,1)}(a,b,c)/||a||^2-(0,0,1)]+(0,0,1)

まとめると
g(e1)=(2a^2-1,2ab,2ac)
g(e2)=(2ab,2b^2-1,2bc)
g(e3)=(2ac,2bc,2c^2-1)

∴　表現行列は

{g(e1),g(e2),g(e3)}
={2a^2-1、2ab、2ac}
{2ab、2b^2-1、2bc}
{2ac、2bc、2c^2-1}

お礼

cleacheaさま

とても丁寧な解説ありがとうございます！
いっぺんに（ｘｙｚ）をまとめるよりもe1 e2を（１００）（０１０）とわけて考えるほうがわかりやすく、（混乱せずに）できるんですね。

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

実のところ, この問題に関して言えばその条件は不要です.

補足

Tacosanさま
回答ありがとうございます。
この条件は不要なのですか！

参考にさせていただきます！

回答No.1

yasei

ノルムが1と書いてあるだけでしょう？

あなたのそれは、テキストすら開いていないだけであって、苦手とかそんな話ではないですね。

補足

yaseiさま
回答ありがとうございます。

ノルムが何をあらわしているのかは解るのですが、この条件が解答するにあたって、どこでどう使うのかがわかりませんでした。
「||a||=1はどういう意味なのかわかりません」は不適切な聞き方でしたね。説明不足（日本語力不足？）ですみません；
この疑問はTacosanが答えてくださったのでわかりました！

テキストを参考にしつつ、もう少し頑張ってみたいと思います！