(n!)!は(n!)^(n-1)!で割り切れる

質問

(n!)!は(n!)^(n-1)!で割り切れる

このことを数学的帰納法で示そうと思ったのですが、うまくいきません。
どのように示せばよいでしょうか？

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

おまけ:
「帰納法を使う」理由はなんでしょうか?
帰納法を忘れてしまえばいろいろと方針はありますけど....
#1 で書いたことを使ってもいいですし, もっと直接的に
(Σ(i: 1→(n-1)!) x[i])^(n!) における Π(i: 1→(n-1)!) x[i]^n の係数が (n!)! / (n!)^((n-1)!) で, これは (展開式を考えればほぼ明らかに) 整数でなきゃならないとかやってもいいし.

回答No.4

Tacosan

あ～, 気兼ね不要です＞#3.
どうしても帰納法を使うなら, 「連続する n個の整数の積は n! の倍数」を帰納法で証明してみます? なんか変ですが.

回答No.3

kumipapa

おまけのおまけ?
帰納法、確かにかえってややこしくないですか？
#1さんのお話が分かりやすいです。

連続する n 個の整数の積は n! の倍数
∵
k≧1,
k・(k+1)・(k+2)...(k+n-1) = (k+n-1)!/(k-1)! = (k+n-1)Ｃ(k-1) × n!

ということで、連続する 2n 個, 3n個 ...の整数の積は (n!)^2, (n!)^3,... の倍数。

(n!)! は、1 から n! までの連続する n! （= (n-1)!×n ）個の整数の積なので・・・

で、宜しいでしょうか。
(#1さん、勝手におまけしちゃってごめんなさい）

回答No.1

Tacosan

えっと, 帰納法は必要ですか?
「連続する n個の整数の積が n! の倍数である」ことで十分だと思うんですが....