場合の確率

質問

赤、青、黄２個ずつ、合わせて６個の玉が袋に入っている。袋の中から無作為に２個の玉を取り出し、それらが同じ色であれば手元に残し、異なる色であれば袋に戻す。

（１）この操作を繰り返し、２回目に初めて玉が手元に残る確率を求めよ。

まず最初に
１回目に異なる色の２個のを取り出す
２回目に同じ色の２個を取り出すと、確率は、

2Ｃ1×2Ｃ1/6Ｃ2　×　2Ｃ1×2Ｃ1/4Ｃ2

だと思ったのですが、解答を見るとそれぞれ×３がされていました。
どうしてなのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞　解答を見るとそれぞれ×３がされていました
本当ですか？#1さんがおっしゃる通りで、そうはならないでしょう。

１回目に２個取り出し、それら２個を袋に戻してから、２回目に２個取り出すのですから、１回目の試行と２回目の試行で、玉を取り出す場合の数はそれぞれ 6Ｃ2 通りです。4Ｃ2 というのは１回目の試行で取り出した２個の玉を袋に戻さなかった場合の２回目の試行での場合の数ですね。

異なる色の玉を取り出す場合の数は、
色の組み合わせが 3Ｃ2 = 3 通り　←　赤と青、赤と黄、青と黄
それぞれの組み合わせで玉の取り出し方が 2Ｃ1 × 2Ｃ1 通り
従って、１回目に異なる色の玉を取り出す確率は、
3Ｃ2×2Ｃ1×2Ｃ1 / 6Ｃ2 = 4 / 5　・・・(1)

同じ色の玉を取り出す場合の数は、
取り出す色の数が 3 通り
それぞれの色で玉の取り出し方は 1 通りのみ
従って、同じ色を取り出す確率は
3×1 / 6Ｃ2 = 1 / 5 ・・・(2)
また、#1さんのおっしゃるとおり、「同じ色を取り出す」は「異なる色を取り出す」の余事象なので、1 から(1)の確率を引いて 1 - 4/5 = 1/5 でも良いです。

１回目で異なる色の玉を取り出し、２回目で同じ色の玉を取り出す確率は、(1) と (2) を掛ければ良いので
(4/5) × (1/5) = 4 / 25

確率なので順列で考えても良いです。２個同時に取り出そうと、１個づつ順に２個取り出そうと、確率は変わりません。そうすると・・・

異なる色を２個取り出す）
１個目 6通り、２個目は同じ色を除いて4通りなので、確率は
6×4 / (6×5) = 4/5

同じ色を２個取り出す）
１個目 6通り、２個目は同じ色の玉で1通りなので、確率は
6×1 / (6×5) = 1/5

です。

お礼

ありがとうございます！
#1さん、#2さんが描かれていた1-…は余事象でしたか。
なるほどなるほど。
順列の式も書いてくれてありがとうございました！
まだ確率には苦手意識はあるけれど、この問題はばっちおーけーです。
すごく助かりましたー。

回答No.2

Quattro99

2回目の確率を考える場合、分母は1回目の計算と同じになるはずです。
組み合わせで考えるなら、2C2×3C1/6C2だと思います。（同じ色の玉2個から2個選ぶ）×（3種類の色から1種類を選ぶ）/（6個の玉から2個選ぶ）です。
ただ、2個選ぶ場合、それらは異なる色であるか同じ色であるかのいずれかしかありませんから、1から「異なる色の2個を取り出す確率（1回目の試行の確率として求めた確率）」を引けば簡単です。

お礼

ありがとうございました！
2Ｃ1×2Ｃ1/4Ｃ2の式は、「１回目に同じ色の２個を取り出し、２回目は異なる色の２個を取り出す場合」の問題でした。
順列Ｐでも計算できるらしいですが、とりあえず、組み合わせの方法で頑張っていきたいと思います。

回答No.1

Quattro99

> 2Ｃ1×2Ｃ1/6Ｃ2
2C1×2C1だと、例えば赤を1個青を1個取り出す場合の数ということになります。異なる色の組み合わせは、赤青、赤黄、青黄の3通り（3C2）ありますから、×3となります。

> 2Ｃ1×2Ｃ1/4Ｃ2
こちらはどういうことなのかよくわかりません。

確率を計算する時は組み合わせではなく順列の方がわかりやすいと思うのですがどうでしょうか。

補足

ああー、色別にするから×３なんですね！
ありがとうございました！

2Ｃ1×2Ｃ1/4Ｃ2の式は、一応２回目に同じ色の２個を取り出す確率、だと思ってたのですが…違っているかもしれません…；
確率計算ではいつも組み合わせで計算するのが多くて、（めちゃくちゃ教科書参考書どおりなので）あんまし順列・組み合わせの使い方を考えてなかったのですが。。やっぱり違いますかねぇ…。