確率の問題

質問

「赤玉3個と白球5個が入っている袋がある。この袋から玉を1個取り出し、その玉の色に関係なく、白玉1個をこの袋の中に入れるという操作を繰り返す。2回目までに少なくとも1回は赤玉が取り出された事がわかっているとき、3回目に赤玉がとりだされる確率を求めよ。」
という問題で、解答は3/13と出ていますが、どう解くかわかりません。教えて下さい。

回答No.2

kotetsu1900 · ベストアンサー

たぶん、組み合わせで計算したものを足してしまうと９／６４になると思います。これは「取り出された事がわかっているとき」の条件が反映されていないためです。＃１の方の組み合わせを借りまして、２回目までの確率を考えると、

(1)1回目赤→2回目白　＝　3/8　×　6/8
(2)1回目白→2回目赤　＝　5/8　×　3/8
(3)1回目赤→2回目赤　＝　3/8　×　2/8

となります。（１）～（３）を足すと３９／６４となります。もちろん、何もない条件下で（１）～（３）のいずれが生じる確率は３９／６４です。

しかし、条件として「取り出された事がわかっている」とあるので、必ず（１）～（３）が起きていることが保証されています。すなわち３９／６４ではなく１００％と言うことです。

「取り出された事がわかっている」条件を加味して上記３パターンを考え直すと、
(1)1回目赤→2回目白　＝　3/8　×　6/8　÷　39/64
(2)1回目白→2回目赤　＝　5/8　×　3/8　÷　39/64
(3)1回目赤→2回目赤　＝　3/8　×　2/8　÷　39/64

３９／６４で割り戻すことで、（１）～（３）のいずれかが生じることを１００％にすることができます。

最後に３回目の赤玉の確率を掛け合わせて足すと、

(1)1回目赤→2回目白　＝　18/39　×　2/8
(2)1回目白→2回目赤　＝　15/39　×　2/8
(3)1回目赤→2回目赤　＝　6/39　×　1/8

3/13となります

お礼

すごいです。感動しました。なるほどです。ありがとうございました。すっきりしました。

回答No.3

omoidasu

確率で結構ひっかかる問題ですよね。

あなたが求めようとしたのは、「２回目までに少なくとも１回は赤玉が取り出され」かつ「３回目に赤玉が取り出される」確率です。

それは、場合分けして計算済みだと思いますが9/64になったでしょう。

問題では２回目までに少なくとも１回は赤玉が取り出されたことはわかっている（確定している）わけですから、２回目までに少なくとも１回は赤玉が取り出される確率39/64で割らなくてはいけません。

結果、解答3/13となります。

お礼

そうなんです、ひっかかってしまいました。回答ありがとうございました。

回答No.1

graduate_student

(1)1回目赤→2回目白→3回目赤
(2)1回目白→2回目赤→3回目赤
(3)1回目赤→2回目赤→3回目赤

(1)～(3)の確率を足す．

補足

私もそう考えましたが、そうすると分母が8の3乗の約数になります。なぜ分母が13になるかがわかりません。