値域

質問

実数x,yがy≧x^2＋x－1…(1)を満たすとき、x^2＋y^2－8xのとる値の範囲を求めよ。
という問いなのですが,y≧(x^2＋1/2)^2－5/4と(1)式を平方完成したところで手が止まります。この後どうつなげたらいいのでしょう。

回答No.2

nettiw

>> (1)　　y≧(x^2)+x-1=[｛x+(1/2)｝^2]-(5/4)
>> (2)　　(x^2)+(y^2)-(8x)=k

　　(x^2)+(y^2)-(8x)=k
｛　(x-4)^2　｝+｛　(y-0)^2　｝=(k+16)
　　中心Q(4,0)　半径√(k+16)　の円。

図形的に見て、円が放物線と交われ良いし、最大値がないことも明白なので、最小値を求める。

（解１）
　y=(x^2)+x-1 を、(x^2)+(y^2)-(8x)=k　に代入して、
　(x^4)+2(x^3)-10x+1=k
　　四次関数　f(x)=(x^4)+2(x^3)-10x+1　と、
　　ｘ軸に平行な直線　g(x)=k を考える。
　f(x)とg(x)が交わるように、f(x)の極小値/最小値を求める。

　f(x)=(x^4)+2(x^3)-10x+1
　f'(x)=4(x^3)+6(x^2)-10
　　　　=2｛ 2(x^3)+3(x^2)-5｝
　　　　=2(x-1)｛ 2(x^2)+5x+5 ｝=0
　　x=1
　　f(1)=1+2-10+1=-6
　　∴　k≧-6

（解２）
　　円と放物線が接するときが円の半径の最小値となるから、
　　h(x)=(x^2)+x-1 上の 点P (a , ｛(a^2)+a-1)｝)として、
　　接線は計算が面倒になるので、
　　法線を求め、法線が円の中心Q(4,0)を通ることを利用する。

　　h'(x)=2x+1
　　h'(a)=(2a+1)
　　a=(-1/2)は放物線の頂点のｘ座標で、2a+1≠0

法線の式は、
　　y-｛(a^2)+a-1)｝=｛-1/(2a+1)｝(x-a)
　　　　(4,0)を代入して、
　　0=｛(a-4)/(2a+1)｝+｛(a^2)+a-1)｝
　　2(a^3)+3(a^2)-5=0・・・（解１）と同じ式が現れる。
　　(a-1)｛ 2(a^2)+5a+5 ｝=0
　　a=1

　　[　P(1,1)とQ(4,0)の距離　]=[　円の半径√(k+16)　]
　　　　10=k+16
　　　　　k=-6
　　　　　∴　k≧-6

お礼

詳しい回答ありがとうございます！
早速２つとも検証してみます。

回答No.1

koko_u_

x^2 + y^2 - 8x = k と置くとこれは k に応じて (x, y) 平面の円となります。

以上