- ベストアンサー
反射律・対称律・推移律
tinantumの回答
- tinantum
- ベストアンサー率56% (26/46)
反射律は， 「全てのaはa～aを満たす」 ことです． よって，反射律を証明したい場合は，全てのaに関してa～aを示さなくてはなりません． これに対して，対称律をわかりやすく言い直すと 「あるaとbがa～bという関係を満たすならば，b～aも成立する」 というステートメントですので，全てのaに対して対称律を適用することができません．つまり，適当にとったaがとあるbと関係a～bを満たすとは限らないため，対称律を適用することができないのです（逆にいうと，とあるbと関係a～bを満たすようなaに関しては，対称律と推移律を用いて，a～aが証明できることにはなります．このことを，答にある「問題の論法は関係のついている元ａだけについて a～aを言ったにすぎない」と言っているのでしょう）． 具体的な～の例を挙げます． 3つの要素しかない集合{ｘ，ｙ，ｚ}に 下の図のように，x～yという関係を満たす場合は○，満たさない場合は×を用いて関係～を表してみました． ＼ ｘ ｙ ｚ ｘ × × × ｙ × ○ ○ ｚ × ○ ○ （つまり，関係を満たすのは，ｙ～ｙ，ｙ～ｚ,ｚ～ｙ,ｚ～ｚの４つの場合のみです．） これは，対称律も推移律も満たしていることはすぐに確認できます． ところが，"ｘ～ｘ"は成立していないので，反射律が成立していない例となっています．（ｘはどの元とも関係を持たない場合なので対称律が適用できないわけです）
関連するQ&A
- 反射律、対称律、推移律の例を挙げたい
反射律、対称律、推移律の下記例を挙げたいのですが、回答は正しいでしょうか。 （１）反射律であり、対称律でなく、推移律でない。 例）{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b)} （２）対称律であり、反射律でなく、推移律でない。 例）{(a,b),(b,a),(c,c),(d,d)} （３）推移律であり、反射律でなく、対称律でない。 例）{(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合論＞二項関係＞反射律、対称律、推移律
タイトルのごとく、反射律、対称律、推移律の質問です。 集合A上の二項関係を～とする。 このときこの二項関係が対称律、推移律を満たせば ｘ、ｙ∈Aとして、 「ｘ～ｙかつｙ～ｘ⇒ｘ～ｘ」 が成立する 故に、二項関係が対称律と推移律を持てば、反射律をもつと考えました。 しかし、大学のレポートで、「対称律と推移律はもつが、反射律をもたない二項関係をあげよ」という問題がでできました。 上記の僕の証明は間違っているのでしょうか？ どなたか知っている方、教えてもらえますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 反射的、対称的、推移的！？？
数学の問題なのですが、教科書を読んでみてもいまいち理解できません・・・ 問題は６問あるのですが、やはりぴんときません・・・ 自然数、整数、実数全体の集合を、それぞれN,Z，Rとするとき、次の関係Sについて反射的か、対称的か、推移的か、そのいずれでもないかを述べよ 1 x,y∈R, xSy:x≦y 2 x,y∈N, xSy:x+yは偶数である 3 a,b∈N, aSb:ab>5 4 a,b∈N, aSb:aはbの約数である 5 a,b∈N, aSb:a<b 6 (x,y),(a,b)∈R×R,(x,y)S(a,b):x≦y,y≦b １に関しては、反射的、推移的であるが、対照的でない、という解答(1≦2だが2≦1ではない）で良いのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 離散数学 二項関係 反射律 対象律 反射律について
初投稿です。よろしくお願いします。 タイトルの通り離散数学の問題なのですが、教科書やノートを参照しても 答えがなかったのでどなたか詳しい方がいればと思い投稿させていただきました。 以下問題です。 下記の条件を満たす２項関係の事例をそれぞれ１つずつあげなさい。 このとき、それぞれが各条件を満たす理由を説明しなさい。 １、反射律と推移律は満たすが、対象律は成立するとは限らない。 ２、推移律は満たすが、反射律と対象律は成立しない。 ３、反射律と対象律は満たすが、推移律は成立しない。 １番のみ答えがあったのですが、まず、集合の例を挙げて（友達のノートに書いてあったのを見ただけでちゃんとした答えはないのですが、確か｛１，２，３，４，６，１２｝で1/1、2/2・・・などやっていた）証明していました。なんでその例が出てきたかもそれがなんで１の条件を満たすかもあまり理解できませんでした。 できれば、わかりやすく簡単に証明できればありがたいです。 ２，３番は、どこにもなかったのでもし分かる方がいればよろしくおねがいします。 実は、前期にテストがあって勉強はある程度は、やったのですが、１０６人受講してて１０５人が落ちるという前代未聞な結果となったので再テストとなりました。火曜日にテストがあって必修なのでこれを落とすとキャンパス移動が出来なくなる可能性があります。 大変困っています。どうぞよろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 要素数nの集合Aにおける反射律・対称律
要素数ｎの集合Aにおいて (1)A上の関係で反射的なものはいくつあるか？ これは空集合以外の(n-1)個でしょうか？ (2)A上の関係で反射的かつ対称的なものはいくつあるか？ これは{a}や{a,b,c}などは反射・対称を満たしているのでしょうか？ 離散数学の問題の考え方が分からずに困ってます。説明よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 交換律と対称律の違い
交換律と対称律はそれぞれ a ・ b = b ・ a a R b ⇒ b R a などと表われていると思いますが、これらは別のものとして考えなければならないのでしょうか? 対称律に関しては、関係(順序関係、同値関係など)の文脈でのみ使われている気がするのですが 同じなら、名前を分ける必要もないだろうし、何が違うのかなぁと思っています。 もしかするとこれは、 = と ⇔ の違いが分かっていないという事なのでしょうか? (確かにこれは、分かっていないのですが)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同値関係について
以下の二項関係Rにおいて、反射律、対称律、推移律のどれが成り立つか答えよ。（※←→はbioconditional/If and only if） 1. (a, b) ∈ R ←→ |a － b| は奇数で整数Zに属する。 2. (a, b) ∈ R ←→ a と b は少なくとも一文字以上の共通の文字を持つ単語である。 以下解いてみたのですが、正しいかどうかわかりません。 おかしなところがあれば指摘して欲しいです。 1）a,aのとき０となって奇数ではないので反射律は成り立たない。a-bもb-aも絶対値は同じなので対称律は成り立つ。a=1,b=2,c=3とすると|a-c|は偶数なので推移律は成り立たない。 2) a,aのとき全ての文字が共通なので反射律は成り立つ。aという単語とbという単語を取り替えても共通の文字は変わらないので対称律は成り立つ。a=りんご、b=あんず、c=あずき、とする場合aとcは共通の文字がないので推移律は成り立たない。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関係の問題
関係Rを次のように定義する。 (a, b) ∈ R ←→ 1<=|a|+|b|<=2. （※←→はbioconditional/if and only if） （※Rは実数） 解いてみたのですが、正しいかどうかわかりません。 おかしなところがあれば指摘して欲しいです。 1. 関係Rが反射律でも推移律でもないことを示せ。 関係Rを座標に書くとすると、a,b = (2,0), (0,-2), (-2,0), (0.2)の4点を隅にした正方形からa,b = (1,0), (0,-1), (-1,0), (0,1)を隅にした正方形を引いたような図になると（恐らく）思われます。 この場合、例えばa,b=(2,0)は成り立つがa,aの(2,2)は成り立たないので反射律は成り立たない。推移律に関しては、a,b=(2,0), b,c=(0,2)のとき、a,c=(2,2)は範囲外となってしまうので成り立たない。 2. 関係Rは対称律か？反対称律か？ この範囲内の点であれば、aとbを取り替えても(0,0)を軸にして１８０度回転させるのと同じことで、まだ範囲内にあることになるので対称律は成り立つ。反対称律については、a,b=(2,0)かつb,c=(0,-2)の場合にa≠cの為成り立たない。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 「あるaとb・・・」ですかぁ。 「全てのa,bに対して・・・」しか頭になかったので、ますます混乱！ 分からん！難しい！ せっかくの回答なのに理解できなくてすいません。