流体力学の粘性応力における体積変化の式について

質問

粘性応力の式において、垂直方向の応力に関して、体積変化を表す項があるかと思います。

(∂u/∂x)+(∂v/∂y)+(∂w/∂z)=div u

この式がどのようにして導出されたのかがよくわかりません。
図形的にはどのようなイメージなのでしょうか？

あと、div u(vと書いてある時もあります)についてなのですが、これは何なのでしょうか？
せん断方向の応力を考える時に、流体内が速度勾配が生じる・・・などと流体力学の本には書いてあるのですが、これと同じように流体内に生じる速度なのでしょうか？

さらに、この速度ベクトルuがu(u,v,w)のように成分を持っているのはなぜなのでしょうか？

わからないことだらけでお恥ずかしいのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.1

First_Noel

流体力学の式は，微小要素を考えると理解することが出来ます．
（ご質問の式はρが一定だとしていると思いますが，一般的に書きます．）

例えば微小要素として，一辺がｄｘ，ｄｙ，ｄｚの直方体を考えます．
適当にｘ，ｙ，ｚ軸を考えます．

例えばｘ軸に垂直な面について，一方に流入，一方から流出と考えまうｓ．
流入時には，密度ρ，速度ｕ，
流出時には，密度ρ＋（∂ρ／∂ｘ），速度ｕ＋（∂ｕ／∂ｘ），
とします．するとこの微小要素内で，ｘ軸に垂直な面を介した流体の増減は，
[ρ＋（∂ρ／∂ｘ）][速度ｕ＋（∂ｕ／∂ｘ）]　－　ρｕ
ですね．
それで，偏微分のところは二次以上の微小項を無視する，とします．

これをｘ，ｙ，ｚ方向について纏めれば，式を導けるでしょう．

ｄｉｖは「湧き出し」「吸い込み」で，微小要素内で流体の湧き出しや吸い込みがあると０ではなくなります．

つまり，微小要素内の流体の「量」の釣り合い式が，ご質問の式です．