位置従属であることの証明

質問

Ｒnのベクトルたちの組ｖ1、ｖ2、…、ｖkに対して、以下の(a)と(b)は同値であることを証明せよ。
(a)ｖ1、ｖ2、…、ｖkが一次従属である。
(b)ｖi∈＜ｖ1、ｖ2、…、ｖi‐1、ｖi+1、・・・、ｖk＞が成り立つi　　（ただし１≦i≦ｋ）が存在する。

この問題はどのように証明すればいいんですか？？

同値であることを証明するっていうことは、(ａ)ならば(b)、（b）ならば(ａ)がなりたつことを証明しすればいいのはわかるんですが、どのように証明すればいいのかわかりません。

お願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

a→b
ｖ1、ｖ2、…、ｖkが一次従属であるならば、少なくとも１つは0でない
a1、a2、…、akによって、
a1v1+a2v2+…+akvk=0
と表せる。
例えばあるaiが0でないとすると、
aivi=-a1v1-…-a(i-1)v(i-1)-a(i+1)v(i+1)-…-akvk
と表せる。
aiで割れば、viがv1、…、v(i-1)、v(i+1)、…、vkの線形結合で表せる。
すなわち、ｖi∈＜ｖ1、ｖ2、…、ｖi‐1、ｖi+1、・・・、ｖk＞

b→a
ｖi∈＜ｖ1、ｖ2、…、ｖi‐1、ｖi+1、・・・、ｖk＞
ならば、vi=a1v1+…+a(i-1)v(i-1)+a(i+1)v(i+1)+…+akvk
すなわち、a1v1+…+a(i-1)v(i-1)-vi+a(i+1)v(i+1)+…+akvk=0
と表せる。
viの係数は0でないので、これは、v1、v2、…、vkが一次従属である
ことを意味する。

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

どちらの向きも, 「仮定していること」が式に書ければほぼ明らかだと思います.