反復試行の確率と最大値の問題について

質問

式が読みにくくなるため、べき乗は「^」, 割り算は「/」で表します。
数学IAの反復試行の確率と最大値の問題について途中計算について質問があります。
Pn＝n-1C2（1/5）^2(4/5)^n-3×1/3
ちなみに、n-1C2は確率に出てくる“組み合わせの数”のことなので、“シーのエヌ引く１・２”のことです。

　 (n-1)!　　　　　 　4^n-3
＝-------　×　-----------------
2! (n-3)! 5^2×5^n-3×5

(n-1)(n-2)4^n-3
解答の途中式＝---------------
2・5^n
上記の解答の途中式までの途中計算を省かずに教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

読みにくくなるのでCombineの式はC[n,r]　(=n!/r!(n-r)!)　と表記します。

さっするに白玉1個と赤玉4個入った袋から1個取り出して色を確認後、
戻し、また1個取り出すという試行を繰り返したときに白玉が3回取り出された
時に試行を終了するとして試行回数の確率が最大となるのは・・・といった
問題ですかね。まず、ミスが一点。

Pn＝n-1C2（1/5）^2(4/5)^n-3×1/3

正しくは

Pn＝n-1C2（1/5）^2(4/5)^n-3×1/5

ですね。
上にも書きましたが、C[n,r]=n!/r!(n-r)!です。
nの代わりに(n-1),rの代わりに2を入れると
C[n-1,2]=(n-1)!/2!(n-3)!
階乗はその数字から1までを掛け合わせるのでしたね。よって
(n-1)!=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)・・・・3*2*1
(n-3)!=(n-3)(n-4)・・・・3*2*1
(n-1)!/(n-3)!=(n-1)(n-2)
ですね。
よって
C[n-1,2]=(n-1)(n-2)/2

次に

(4/5)^(n-3)=4^(n-3)/5^(n-3)

結局、

(4/5)^(n-3)*(1/5)^2*(1/5)=4^(n-3)/{5^(n-3)*5^2*5}

5を(n-3)回掛け合わせて更に5を2回かけて、もう一度5をかければ5^nです。
これらをまとめると

Pn=(n-1)(n-2)*4^(n-3)/(2*5^n)

と途中式になります。

お礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございます。
ミスも指摘して頂き参考になりました。

回答No.2

kumipapa

正直言って、どこが分らないのかが分らないのだけど・・・

(n-1)Ｃ2 = (n-1)(n-2)/2

が分らないってことですか？それとも指数計算が分らない？

(n-1)Ｃ2 = (n-1)! / { (n-3)! 2! }　を展開して(n-1)Ｃ2 = (n-1)(n-2) / 2を導くっていうのは感心しないというか本末転倒だと思いますけど。
質問者のためにも、聞く前に教科書の該当箇所を見直すことをお勧めしたい。