証明問題

質問

こんにちは。こないだ質問を載せたのですが、それを考える前に恐らく理解できていない定理がありましたので、質問させていただきます。まず定理１すべての数えられる数の集合は有限ではない。これはどういう風に考えたらいいですか？ここでつまずくと先に行けないので困ってます。宜しくお願いします。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

>数えられる数の定義は正の整数でした。

やっと定義らしきものがでてきましたが
数えられる数＝正の整数＝自然数・・・
んーー・・・だったらなぜ「数えられる数」なんて
表現をするのか・・とりあえず，そういう定義だとしましょうか

>有限集合の定義ですもし集合Sが関数の値域（領域｛１≤ｘ≤N}）であるとき集合Sは有限であるといえる。というのが定義だと思います。

これは定義ではないです．これは定理でしょう。
実際，Sが「関数の値域」（この場合，{1,2,...,N}という集合）
でない場合，例えば，S={x,x^2,x^3} なんかは
有限集合ではないのか？ということになります．
それと今度は「関数」「値域」の定義が問題になります．

だいたい想像はついてきましたが・・・
教科書にしっかり明記されてませんか？
『集合が有限集合であるとは「なになに」であることをいう』
というそのものずばりのものがありませんか？
その定義の前あたりに「写像」の定義と
「単射」「全射」「全単射」の定義がありませんか？
写像を定義したあたりで「関数」「値域」「定義域」とかの
定義はないですか？

========================
「自然数の集合 N は有限集合ではない」
証明：有限集合であると仮定する．
このとき，ある自然数 n と
全単射 f: {1,2,...,n} -> N が存在する．
f(1),f(2),...,f(n)のうち，最大のものを M とする．
このとき，fは全単射なので
{1,2,...,n}の要素 m を適切に選べば f(m) = M+1 とできる．
これは M の最大性に反する．よってNは有限集合ではない．
つまり無限集合である．
＃定義の仕方にかなり依存する証明です．

ちなみにここでつまずいたって，
とりあえず「自然数の集合は無限集合」ということで
先に進めばいいだけの話です．

回答No.6

kabaokaba

>サラリと流しすぎじゃないっすか？

やっぱりそう思います？
誤魔化しているのは承知です．
あんまり定義定義といっても
混乱させるだけだと思ったので，
ばっさりいきました．
＃当然，こんなことはご承知の上での突っ込みだと思います．
＃もちろんどういう有限集合の定義を暗黙に使ってるのかも．

まあ，すくなくとも雰囲気みたいなものは
伝わると思いたいです．

お礼

なんとなくは分かりました。またよろしくお願いします。どうもありがとうございました。

回答No.5

koko_u_

>f(1),f(2),...,f(n)のうち，最大のものを M とする．
サラリと流しすぎじゃないっすか？

回答No.3

kabaokaba

>与えられた定義を元に考えてますが、
いや・・・だからその「与えられた定義」ってのを
明記してくださいと指摘されてるんですよ．

>上の問題ですが、自然数の集合と考えて大丈夫だと思います。
これは「数えられる数の集合」が
「自然数の集合である」という意味ですか？
たぶん。。ちがいます．
ふつうは有理数までは「数えられる」ものです．

・数えられる数
・有限集合
の「あなたが採用している」定義を明確にしてください．

=========以下，老婆心ながら
集合論を始めたばかりということですが・・・
一口に「集合論」といっても
いろいろな立場があって，
いろいろな定義の仕方があるのです．
あなたが習っているであろう定義の仕方以外にも
たくさん定義の仕方があります（そしてそれらは全部同値）．
定義の仕方がちがうと当然証明の仕方も違うのです．
したがって，「あなたの採用している定義は何か？」と
聞かれているのです．

お礼

すいません補足の欄で領域が文字化けしてしまったので、こちらに書かせていただきます。領域はxが一以上N以下の時です。

補足

アドバイスありがとうございます。数えられる数の定義は正の整数でした。それと有限集合の定義ですもし集合Sが関数の値域（領域｛１≤ｘ≤N}）であるとき集合Sは有限であるといえる。というのが定義だと思います。宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan

ついでにいうと「有限集合」あるいは「無限集合」の定義は?

回答No.1

koko_u_

そういう時は前の質問のリンクを貼るといいよ

http://okwave.jp/qa3349940.html

>すべての数えられる数の集合は有限ではない。
「数えられる数の集合」が何かを補足してね。

えと。別に粘着しているわけではなくて、kotie さんの集合論についての前提知識とか、理解度がわからんのでそれを補足して欲しいということです。

補足

アドバイスありがとうございます。集合論は今始めたばかりです。前提の知識はほとんど無いです。与えられた定義を元に考えてますが、証明の仕方がほとんど分からず手探り状態です。上の問題ですが、自然数の集合と考えて大丈夫だと思います。