• 締切済み
  • 困ってます

ゲーデルの不完全性定理で出てくる「証明できない」

ゲーデルの不完全性定理の証明に関する本をいろいろ読んでみましたが(あまり厳密なものは読んでいませんが)、どの本を読んでいても理解が先に進まず立ち止まってしまうところがありました。それは、「証明できない」ということの定式化(言葉がこれで正しいのかわかりませんが)についてです。 ある論理式が「証明できる」というのは、使用できる「公理」と「変形規則(推論というのでしょうか、これも言葉が正確かすみません覚えていません)」を有限回使用してその論理式に実際に到達できること、という理解をしており、これは理解できます。 これに対してある論理式が「証明できない」というのは、以下の(A)(B)(C)のどの意味なのでしょうか。 (A)使用できる「公理」と「変形規則」を有限回使用してもその論理式に実際に到達できない、ということ。 (B)その論理式の否定が証明できる、ということ。 (C)その論理式が証明できない、ということを示す何らかの論理式に、使用できる「公理」を「変形規則」を有限回使用して実際に到達すること。 (A)かなとも思いますが、それってどのように理解すればよいのでしょうか。1000回使用して到達できなくても、1001回使用すれば到達できるかも知れないのでは?  (B)ではないと思っていますが自信がありません。 (C)は実際には(A)だったり(B)だったりする?。。判断ができません。 昔の一時期、結構悩みました。現在再チャレンジしていており同じ個所で悩んでいます。もやもやを晴らして頂ければ大変うれしいです。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数210
  • ありがとう数0

みんなの回答

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

「証明できない」の意味は、(A)です。 (B)は「否定が証明できる」ことを、 (C)は「証明できないことが証明できる」ことを表しており、 「証明できない」とは異なります。 ゲーデルの証明不能命題は、存在することだけは証明されていますが、 その命題が証明不能であることもまた証明不能だと判っていますから、 推論が1000回とか1001回とか悩む必要もないです。 ゲーデル文は、遠くにありて思ふもの… です。掴むことはできません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • ゲーデルの不完全性定理について

    ゲーデルの不完全性定理について ネットサーフィンをしていたときに、たまたま、ゲーデルの項目を見つけました。 当方、数学は素人なのですが、 ゲーデルの不完全性定理(ある公理系の中には、真偽を明確にできない命題が存在する) を僕たちが生きるこの世界、この宇宙にあてはめて考えると、 この世の中には、論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがあるということなのでしょうか。

  • ゲーデルの不完全性定理とは?

    入門書を読んで理解を深めてから質問しようと思っていたのですが、なにぶん多忙かつ 魯鈍であるため、ほとんど理解していない状態での質問をお許しください。 ゲーデルの不完全性定理の入門書を読むと、一般人向けの説明として次のように記述されて います。 ●自然数論を含むような数学的体系の無矛盾性を、その体系内で証明することはできない。 これは、分かりやすいく言うとどういうことなのでしょうか。論理記号式を使用しないと 説明は無理ですか。 不完全性定理は「自己参照」とか「自己言及」を行なった際に生じる、避けられない 困難性や矛盾の存在を言い表しているのだと思いますが、次のような(安直とも言える) 拡大解釈を許すような、普遍性のある定理なのでしょうか。 ●認識主体が自分自身を完全に認識することはできない。(認識) ●哲学が哲学を完全に定義することはできない。(定義) ●体制が自己の正当性を自分で証明することはできない。(証明)

  • ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について

    ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について ゲーデルの不完全性定理の対象となる数学は『公理系Nが無矛盾である』が前提です。ユークリッド幾何学は 一階述語論理で表されることが出来る自然数の部分集合であって、ゲーデルの不完全性定理の対象である 公理Nの無矛盾である 論理の対象になってないとなり それ以上のユークリッド幾何学の論理的理解が進みません。そこでゲーデル理解を拡張して『公理系Nが無矛盾ではない』として不完全性定理を理解すると(須田隆良氏、中西章氏など) (1)ゲーデルの第一不完全性定理の解釈==>公理系Nが無矛盾であろうがなかろうが 公理系Nにおいて、「公理系Nにおいて命題は証明可能である。」という命題も、「公理系Nにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である (2)第2不完全性定理の解釈==>公理系Nが無矛盾であろうがなかろうが その無矛盾性を証明できない となります。これらはゲーデル不完全性対象から外れておりますが、対象外のユークリッド幾何学を理解するには都合がよい と思うのです。 (2)によりユークリッド幾何学の公理の無矛盾性は証明できない。 (1)によりユークリッド幾何学の未定義領域(非ユークリッド幾何学、虚数、無限遠点とか)は 公理系Nにふくまれ 多くの証明できない命題があることになります。もちろん 公理定義内では完全性理論は保証されています。 なぜ このようなユークリッド幾何学に こだわる かと申しますと 世の中の 論理(数学、哲学、論理を用いた論文 など)は ユークリッド幾何学的なものが 圧倒的に多いと思うのです。これら論文は ほとんどは一階述語理論で表され かつ ゲーデル不完全性定理 対象論理ではないのです。それら論文の特に(2)に関わる自己証明は出来ない ということは重要であると思うのです。もちろん 自己証明が出来ないと言って間違いとはなりません が 常に 冷静に謙虚に 主張理論の原点を見直すことに 繋がっていると思うのです。勿論、論理構成が出来ていないシロモノは 論外であります。    以上のように理解しているのですが、ユークリッド幾何学にまつわるゲーデル不完全性定理の場外理解は問題ないでしょうか。諸先生のコメント頂けましたら幸甚です。

  • 私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。

    私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。 (1)第2不完全性定理では 次の表現があり『公理系Nにおいて、その無矛盾性を証明することは不可能である』、そのなかで問題として『 真であるが証明不可能な主張とは何か。』に対して 答え『公理』とあり 自己言及を表現していることは 理解し易いのです。幾何学では5公理です。この理解はたぶん正しいと思います。 ところが (2)私がよく分らないのは 第1不完全性定理です。『形式的体系Sにおいて、形式的体系Sが無矛盾である限り、「形式的体系Sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 「例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である」はその例のようにおむのですが。つまり 例題には ユークリッド幾何学では未定義の無限遠点が現れており 証明はできない のです。いくら公理を増やして定義を明白にしても 未定義の領域はある ということです。 もう一つの例ですが 無限遠点は扱わないという6番目の公理を追加したとしても 例えば 「X・X=-1 は根がない は証明可能である」も証明できない と思うのです。なぜなら複素数は未定義だからです。つまり 『公理で定義されても未定義域は必ずある』が第一不完全性定理の一つの別表現ではないか と思うのです。この理解が間違っているのかどうか どなたかにお教えて頂きたかったのですが 

  • ゲーデルの不完全性定理

    ゲーデルの不完全性定理の証明のアイデアが知りたいと思い、適当な入門書(基礎論の教科書ではないです。)を読んでいるのですが、 まず、定理の主張が「形式的体系Tで通常の自然数を含み、強い意味で無矛盾であり、そこにおける公理や推論規則は帰納的に定義されているかまたはその数が有限であるようなもの、においては文GでGも¬Gも証明できないものが存在する。」 とあるのですが、形式的体系Tがなにを意味しているのかがよくわかりません。これは、形式的と書いてあるのだから文字通り「意味を考えない記号の世界(記号の集まりと、記号を並べて得られる列を変形するいくつかの規則)」と考えればよいのでしょうか? それで、もう一つ質問があるのですが、 まず、準備として記号 ¬,∧,∨,→,∃,∀,(,),0,',+,×,=,x,y,zを用意して、 x,y,zを変数記号と呼びます。 それで、項を次のように定義します。 (i) 0,x,y,zは項。 (ii) t,sが項であるとき、'(t),+(t,s),×(t,s)は項。 (iii)このようにして得られるものだけが項。 (iV)'(t),+(t,s),×(t,s)を簡単にそれぞれt',t+s,t×sと記したりする。また、0',0'',0''',…をそれぞれ1,2,3,…と記す。 また、項tを上の記号の括弧としてではなく、見易さのための補助記号としての(,)を用いることにより、しばしばt(x,y,z)と記したりする。 次に論理式を次のように定義します。 (i)t,sが項のとき、t=sは論理式。 (ii)φとψが論理式でxが変数記号のとき、(¬φ),(φ∧ψ),(φ∨ψ),(φ→ψ),(∀xφ),(∃xφ)は論理式。 (iii)このようにして得られるもののみが論理式 (iV)見易さのために括弧を適当に省略して論理式を記すこともある。 以上により、与えられた記号列が項か論理式かそれ以外のものか判定できるようになります。 準備した記号¬,∧,∨,→,∃,∀,(,),0,',+,×,=,x,y,zを普通に解釈することで、論理式の意味を考えることができるようになります。 ただし、'は後者関数と解釈します。 次に、¬,∧,∨,→,∃,∀,(,),0,',+,×,=,x,y,zに 素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53を割り当てます。 記号列が与えられたとき、各記号を上記の対応に従い素数n_1,n_2,n_3,…に置き換え、2^(n_1)*3^(n_2)*5^(n_3)*…を対応させます。対応する数をゲーデル数と呼びます。 以上で準備は終わりで、 質問ができるのですが、 「mがTのある論理式のゲーデル数である」という非形式的な主張は mを素因数分解して各素数の指数を調べることである論理式のゲーデル数であるかどうかがチェックできるので、解釈すると「mがTのある論理式のゲーデル数である」という意味になる論理式が作れる、とあるのですが"具体的"にはどのようにして作るのでしょうか? 私は、論理式の定義が再起的であるから、「mがTのある論理式のゲーデル数であるかどうか」をコンピュータに判定させること(とてつもなく時間がかかりそうですが)可能だと思うので上のような論理式は作れると思うのですが、実際に作るとどんな論理式になるのか興味があります。

  • ゲーデルの証明不能命題

     不完全性定理(形式的体系においてその公理と推論規則を使って証明も否定もできない論理式Aが存在する。)にいう論理式Aには例えばどんなものがあるのでしょうか?  いまだ解かれていない数学上の難問がありますが、これらが論理式Aであるかどうかは、結局のところ証明できた時点でしか判定できないのでしょうか。

  • 不完全性定理から証明された「真理性 Ω は、ランダムである」とはどういうことですか?

    ゲーデルの不完全性定理の応用でチャイティンが、 「任意のシステム S において、そのランダム性を証明不可能なランダム数G が存在する」 という事を証明し、その後「真理性 Ω は、ランダムである。」という定理を発表したようですが、 この「真理性 Ω は、ランダムである。」とはどういう意味なのですか? 論理学も数学もほとんど無知ですが感覚的に分かるように説明して頂けませんか。よろしくお願いします。

  • ゲーデル「不完全性定理」が分かりやすく理解できる本

    ゲーデル「不完全性定理」が分かりやすく理解できる本 通学中の電車内に有る「1991年、科学によって神が存在しないことが証明された!」という謳い文句に興味を持ち、一体、その照明方法がどういった手順を踏んだものなのかを調べ初めて早2時間・・・・・。なんつーものに興味を持ってしまったのだろうと若干後悔の渦が・・・・・。 どうにか、この「1991年、科学によって」が、ゲーデルの「不完全性定理」を指しているの・・・・かな?というところまで辿り着きました。という訳で、「じゃあゲーデルの不完全定理を理解すれば、あの宣伝の謳い文句が分かるのかー」と、その定理に関連するサイトを読みかけ・・・・、そんな簡単に理解できるものじゃないコトを認識しました。 気にしなければ、そんなこと知らなくても全く日常生活に支障はないので、忘れてしまえば良いのですが、折角、「不完全性定理」というものの存在を知り、且つ、興味全開なので、出来る事ならば表面上だけでも、齧りだけでも良いので理解してみたいと思っています。 ゲーデルの「不完全性定理」を調べていくうちに、公理・ヒルベルト・公理系・無矛盾性・完全性・パラドクス・・・・・など随所の単語につまづき、その都度、その単語の意味が書いて有る別のページに飛び・・・・・を繰り返し続けているうちに、「これはちゃんとした本で理解した方がいいんじゃないか・・・・」と思ったので質問させてください。 私は一介の高校生なので、ちょっとした専門用語にすら「?」が浮かんでしまいます。不完全性定理を導く過程で必要な用語を解説しつつ、根気と気力が有れば、まあ有る程度理解できるくらいの易しさで書いてある本を紹介してください。また、その定理が生まれるに至った経緯なども豆知識程度に書いて有れば尚嬉しいです。(こちらのページhttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1410933224 のpistis_sophia_00さんの回答の様な感じ) 来る夏休み中に読み終えられるような入門的なもので構いませんので、是非よろしくお願いします。 長文・乱文しつれい致しました。

  • 不完全性定理は素人には理解できませんか?

    不確定性理論は概念として理解できます でも不完全性定理は??? ω無矛盾性や公理系とかどうもわかったようなわからんような、、、 正直しっくりこないです どなたか単純な系を例示して御教授いただけませんか?

  • 私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sに

    私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sにおいて、形式的体系Sが無矛盾である限り、「形式的体系Sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが 間違っているでしょうか。 問題は 無限遠点が公理を用いて表されるか どうか という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと 公理2に線分を限りなく伸ばすことができる とあります。つまり無限遠点は「公理2の限りなく線分を伸ばした点」と理解され 公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。 <ユークリッド 幾何学の公理> (公理1)与えられた2点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど1つ引くことができる。 (公理2)与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。 (公理3)平面上に2点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど1つ書くことができる。 (公理4)直角はすべて相等しい。 (公理5(平行線公理))直線外の1点を通り、その直線に平行な直線は1本に限る