部分積分の直感的な理解

質問

部分積分の公式を、関数の積の微分の公式から導くのではなく、
部分積分の公式そのものから直接的にすぱっと理解する方法はないでしょうか？
物理の計算とかで、部分積分を使う場面がよくありますが、「部分積分すると」という表現に出くわすと、妙にはぐらかされた気分になるのです。

回答No.3

ka1234

こんにちは。

＞物理の計算とかで、「部分積分すると」という表現に出くわすと、
妙にはぐらかされた気分になるのです。

これ、私も非常によくわかります（笑）。同意できる。物理では無限次元を
扱う事が多く、式変形の途中で急に消えている項があったりすると、
「何だろう？やばい計算か？」とかって思ってしまいます。それが単なる
部分積分だったりするとがっかりしますよね。「時間を返してくれ」って
いいたくなります。場の量子論の計算をしているときに実際にありました。
物理では特殊な積分が沢山出て来るので、ついそちらの方に目が行って
しまうのです。

＞部分積分の公式そのものから直接的にすぱっと理解する方法はないでしょうか？

これはなかなか無理と言ってもいいような事ではないでしょうか？
かの天才ファインマンでさえ、積分計算や微分計算は地道にやっている
と思います。（もちろん色々と技は編み出していると思いますが）

私の考えでは不定積分には「積分独自の計算」は無いと思います。
（Γ関数やΒ関数のように定積分で定義される関数は別ですが）

つまり、f(x)=e^x の積分であれ、f(x)=x^2 の積分であれ、微分の逆演算
をしているに過ぎないと思うのです。
「積の微分」の意味付けが出来ない以上、「部分積分」の意味付けも難しい
ように感じられます。（しかし出来る人はいるかも知れませんね）

お礼

>「積の微分」の意味付けが出来ない以上、「部分積分」の意味付けも難しい
ように感じられます。
「積の微分」は、y = y1y2 で、
y + dy = (y1 + dy1)(y2 + dy2)
= y1y2 + (dy1)y2 + y1(dy2) + (dy1)(dy2)
からなんとなく分かるのですが、、「部分積分」の意味付けが分からんですね。

回答No.2

Knotopolog

私も，tohoho2 さんと同じような感覚を持っております．
部分積分の公式の形が嫌いなのです．
そのままの形では覚えられないのです．つまり，下記の形：

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx　・・・(1)

そこで，勝手に，以下の様な考え方をして，覚えています．

∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx - ∫{f'(x)∫g(x)dx}dx　・・・(2)

でも良いわけですから，この(2)を変形して，

∫{f(x)g(x)dx + f'(x)∫g(x)dx} = f(x)∫g(x)dx　・・・(3)

として，これを記憶しています．これですと，なぜか良く頭に入るのです．なぜだか分かりません．この方が形として美しく，綺麗でしょう？上記の記述では，関数 f(x) と g(x) の連続性などは，抜きにしています．公式上の形だけの話です．また，定積分ではなく，不定積分の形で書きました．

回答No.1

connykelly

>部分積分の公式そのものから直接的にすぱっと理解する方法はないでしょうか？

直接的にスパッといっても。。。私はいつも(fg)'=f'g+fg'に積分の衣を着せるとfg=∫f'gdx+∫fg'dxというところから部分積分の公式を思いだしています(^^);。

>「部分積分すると」という表現に出くわすと、妙にはぐらかされた気分になるのです。

慣れでしょうね。慣れてくるとヨ～っし一つ部分積分して確かめてやろうじゃないかという気になってくると思いますよ。ちなみにここ↓のサイトが参考になるかもしれません。
http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/anime/bubunsekibun.htm

参考URL：

http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/anime/bubunsekibun.htm

お礼

回答ありがとうございました。直感的、直接的な、あるいはビジュアルに理解の方法はないですか？