logの微分について

質問

logx^(x+1)の微分について質問です。どういう風に計算したらいいのでしょうか？
(x+1)logxとして、積の微分公式をつかうのか、
それとも合成関数の微分を使うのか、よくわかりません。
2つの方法で計算したら答えが違います。
教えてくださいよろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

同じになるよ。

y = log{ x^(x+1) } として、
y = (x+1)(log x) から積の微分を使うと…
dy/dx = {(d/dx)(x+1)}(log x) + (x+1){(d/dx)(log x)}
= 1・(log x) + (x+1)(1/x)
= (log x) + 1 + 1/x.

z = u^v, u = x, v = x+1 と置いて、
合成関数の微分を使うと…
dy/dx = (dy/dz)(dz/dy)
= (dy/dz){ (∂z/∂u)(du/dx) + (∂z/∂v)(dv/dx) }
= (1/z){ (v u^(v-1))・1 + ((u^v)(log u))・1 }
= (u^-v){ v u^(v-1) + (u^v)(log u) }
= v/u + (log u)
= (x+1)/x + (log x)
= (log x) + 1 + 1/x.

貴方の計算は、どっちの答えがどうなったの？
(計算過程を含めて、是非補足に書いてね。)

お礼

問題だけでなく補足のほうも解説していただき、ありがとうございます。
大変助かりました。

補足

積の微分のほうは、解答してくださったようになったのですが、
合成関数の微分のほうは、ほかの回答者の方がおっしゃっていたように、
u=x^(x+1)とおいて、
dy/dx=(dy/du)(du/dx)
=(1/u)(x+1)x^x
={1/x^(x+1)(x+1)X^x}
=(x+1)/x
となってしまいました。

回答No.5

alice_44

z = x^(x+1) と置いて dz/dx = (x+1)x^x としたのでは、
A No.4 の dz/dx = (∂z/∂u)(du/dx) + (∂z/∂v)(dv/dx) を
dz/dx = (∂z/∂u)(du/dx) としてしまったことになる。
(d/dx)u^v = v u^(v-1) となるのは、
v が x に対して定数である場合だけだ。
上の式に dv/dx = 0 を代入してみれば、そこの事情が解る。

x^(x+1) は、式中の二ヶ所に x が現われているから、
二変数関数の両方の変数に同じ x を代入したと見るべきだが、
多変数関数の合成微分則は、いわゆる「チェインルール」
(d/dx)f(u1,u2,…,un) = Σ[k=1…n](∂f/∂uk)(duk/dx)
が正しい。この式は、(u1,u2,…,un) をベクトルと見て、
(d/dx)f(→u) = ∇f(→u)・(d→u/dx) と内積で捉えると
了解しやすいかと思う。

回答No.3

Human_being

すみません、dy/dx=(x+1)logxじゃないですね。
y=(x+1)logxの間違いです。

回答No.2

Human_being

y=logx^(x+1)として、

dy/dx=(x+1)logxだから、積の微分公式より
dy/dx=logx+1+1/x
でできませんか？
もしかしてx^(x+1)=uとか置いてますか？
合成関数の微分を使うとややこしくなる、もとい計算ができなくなる部類の問題じゃないですか、これ

お礼

おっっしゃる通りの間違いをしていました。
解答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

あなたがどうやってどんな結果になったのか知りませんが, どちらでも同じ結果になるはずです.

お礼

私の計算違いでした。
解答ありがとうございます。