三角比の問題 （３）

質問

（問題）△ABCの面積Sは次の式で与えられる事を証明せよ。

　　a^2sinBsinC
S=──────
　　　2sin(B+C)

正弦定理と、面積の公式を使ってやっているのですが答えが出ません。

教えてくださいまし。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

△ABCの面積S
S=(1/2)bc*sinA・・・(1)
正弦定理
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R・・・(2)
(ただしRは△ABCの外接円の半径)

(2)より b=2RsinB, c=2RsinC を(1)に代入して
S=(1/2)(2R)^2*sinB*sinC*sinA・・・(3)
ここで(2)より 2R=a/sinA を(3)に代入
S=(1/2)a^2*sinB*sinC/sinA・・・(4)

さらにA=180°－(B+C) よりsinA=sin{180°－(B+C)}=sin(B+C)
に注意すると(4)より
S=a^2*sinB*sinC/(2sinA)

回答No.3

kony0

点AからBCにおろした垂線の足をHとすると、
AH=BC*sinBsinC/sin(B+C)を示せばよい。
AH=AB*sinBよりAB=BC*sinC/sin(B+C)を示せばよい。

ここらで、sin(B+C)=sinA（内角和180度より：#1 oshiete_gooさん参照）
に気が付けば、最後の式って正弦定理のとおりですよね？

回答No.2

oshiete_goo

#1の者ですが
最後の答を書き忘れて
S=a^2*sinB*sinC/(2sinA)
=a^2*sinB*sinC/{2sin(B+C)}
でした.訂正します.