箱の中の粒子

質問

1次元についてなんですが、x=±aに端を持つ箱の基底状態にある粒子が、突然はこの端が±b(b>a)動かされると、粒子が新しいポテンシャルに対して基底状態に見出される確率ってどうなるんですか??考え方を教えてください!!!

回答No.3

aquarius_hiro

ANo.1,ANo.2です。

ちょっと気になったので補足します。

ポテンシャルの高さがわからないのですが、もし∞とすると、井戸の幅が-a～aのときには、x<-a, x>a では、波動関数はφ(x)=0になります。φ(x)∝cos(…)の式を、x<-a や x>a にまで使うことはできません。

<ψ|φ> = ∫[ψ(x)]^* φ(x) dx

を計算するときには、そのことも考慮しないといけませんよ。基底状態から新しい基底状態への遷移確率を計算していることになるのですが、どちらも偶関数であり、ポテンシャル壁の向こう側では振動せずに減衰するか、0で一定になるかなので、

<ψ|φ>

が 0 になるとはないと思います。

もし直感と一致しない結果になったときには、計算ミスなどがないか、慎重に再検討してみてください。

回答No.2

aquarius_hiro

ANo.1です。

> Ψ(x)はφ(x)の係数だけが違うってことでいいんですか?

それは波動関数全体の係数だけ違うという意味でしょうか？
それとも波動関数の中のxの係数が違うという意味ですか？
普通に文章の意味をそのままとらえると前者の意味になり、その答えはノーになります。

φ(x)は、ポテンシャルの高さがもし∞なら、

　φ(x) ∝ cos(πx/2a)

になります。x=±aで、cos(±π/2)=0です。これをグラフに書いてみてください。一方、Ψ(x)は同様に考えて、

　Ψ(x) ∝ cos(πx/2b)

ですね。「cosの中のxの係数だけ違う」ことにはなっています。
また規格化因子にもaやbが含まれますので、両方とも規格化すると全体の係数も違うことになります。規格化因子は自分で求めてみてくださいね。

ちなみに、ANo.1で書いたことは、

　∫[Ψ(x)]^*・φ(x) dx

が「φにある状態」の粒子を観測したときに「Ψという状態」に発見される確率の確率振幅であるということは、量子力学の原理なので、その原理を適用しただけです。

幅が±bに移動した後の一連の固有状態をΨ_n(x)と書くことにし、エネルギーの低い順番に、n=0,1,2,3,…とします。（_nはnが下付き文字であることを表わします。）ANo.1でΨ(x)と書いたものはΨ_0(x)です。

一連の固有関数を全部（∞個ある）は、「完全系」というものをなします。「完全系」は任意の波動関数f(x)を次のように展開できます。

　f(x) = Σ_{n=0}^{∞} C_n Ψ_n(x) …(1)

ここで、C_n（n=0,1,2,…）はf(x)によって決まる定数です。なぜ可能かを説明すると長くなるので、ここでは省略しますが、とりあえず無限個あるのだから、そのぐらいできるだろうと理解しおいてください。

もとの基底状態φ(x)も、(1)に従って、

　φ(x) = Σ_{n=0}^{∞} C_n Ψ_n(x) …(2)

と書きます。この各係数C_nは次のように求めます。

まず、あるkに着目し、(2)に[Ψ_k(x)]^*をかけて積分すると、

　∫[Ψ_k(x)]^* φ(x) dx = Σ_{n=0}^{∞} C_n ∫[Ψ_k(x)]^* Ψ_n(x) dx

となりますが、右辺に出てくる 積分は

　∫[Ψ_k(x)]^* Ψ_n(x) dx = δ_{n,k}

となるので（δ_{n,k}はn=kのときだけ1、それ以外は0になるもの。クロネッカーのデルタと呼ばれる）、

　∫[Ψ_k(x)]^* φ(x) dx = Σ_{n=0}^{∞} C_n δ_{n,k} = C_k

と、C_kを求めることができます。k=0,1,2,… について成立つので、

　C_n = ∫[Ψ_n(x)]^* φ(x) dx

が得られます。このC_nは、φという状態に粒子があることがわかっているときに、エネルギーを観測してnという固有状態にあることがわかる確率の確率振幅です。ANo.1に書いた確率振幅は、まさにC_0です。

お礼

丁寧に説明してもらってありがとうございます。
おかげで解くことができました。
nが奇数のときのみでしか、発見されないんですね。少し不思議な感じがします。
ホントにありがとうございました!!

回答No.1

aquarius_hiro

shoutimeさん、こんにちは。

端がx=±aにあるときの基底状態の波動関数をφ(x) とします。

端がx=±bにあるときの固有波動関数をΨ(x) とします。

φ(x)の波動関数が、突然違う環境におかれたわけですので、たぶん粒子はそのままφ(x)の状態にあると考えることができ、その状態のΨ(x)の確率振幅は、

　∫[Ψ(x)]^*・φ(x) dx

を計算すればよいです。確率はこの確率振幅の絶対値の2乗なので、

　P = |∫[Ψ(x)]^*・φ(x) dx |^2

となります。具体的には箱の両端でのポテンシャルの高さによりますね。積分の区間は全区間を取ればよいですが、φやΨが0になるところは、考えなくてよいです。

補足

回答ありがとうございます

もう少しだけお願いします。
Ψ(x)はφ(x)の係数だけが違うってことでいいんですか?