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井戸型:シュレーディンガー

井戸型ポテンシャルの問題です。 どうも数学的な計算が苦手なものでして・・・。 できれば詳しくお願い致します。 ポテンシャル U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L U(x,y)=∞、それ以外 無限に深い井戸型ポテンシャル内の粒子運動を考える。 井戸内でのシュレーディンガー方程式は 【エッチバー:H とする】 -H^2/2m{∂^2φ(x,y)/∂x^2 + ∂^2φ(x,y)/∂y^2}+U(x,y)φ(x,y)=Eφ(x,y) である。固有関数は φ(x,y)=A・sin(aπx/L)sin(bπx/L)、(a,b=1,2,3,・・・)とする。 問1 基底状態(a=1、b=1)のエネルギー固有値を計算せよ。 問2 基底状態の固有関数を用いて、規格化条件からAを求めよ。

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  • 回答No.2

まず、微分積分の基本。 sin(kx)をxで微分すると、k*cos(kx)。 cos(kx)をxで微分すると、-k*sin(kx)。 sin(kx)をxで積分すると、-cos(kx)/k。 cos(kx)をxで積分すると、sin(kx)/k。 sin(ax)sin(by)をxで偏微分すると、 a*cos(ax)cos(by)。もう一度偏微分すると、 -a^2*sin(ax)sin(by)。 sin(ax)sin(by)をyで偏微分すると、 b*cos(ax)cos(by)。もう一度偏微分すると、 -b^2*sin(ax)sin(by)。 以上基礎知識。 問1補足: φをシュレディンガー方程式に代入するが、二階偏微分すると、 その部分は、 -(π/L)^2(a^2+b^2)A・sin(aπx/L)sin(bπx/L) =-(π/L)^2(a^2+b^2)φ となります。 U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L で、0≦x≦L、0≦y≦L の範囲の任意の x,yでU(x,y)=0ですから、 H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)=E が成り立ちます。φは両辺共通で消えます。 問2補足: |φ|^2の積分をしようとすると、 (sin(πx/L))^2*(sin(πx/L))^2 のxとyの積分が出てきます。xとyの積分は、xとyについて 独立にします。 つまり(sin(πx/L))^2がわかればいいですね。 (sin(ax))^2=(1-cos(2ax))/2が三角関数の公式ですから、 (sin(πx/L))^2の積分は (x/2-sin(πx/L)L/(4π))です。 結局、0からLまで積分すると、 (L/2-0)-(0-0)=L/2。 yについても同様だから、 |φ|^2のx,yについて0からLまでの積分は、 (AL/2)^2になります。 規格化条件は (AL/2)^2=1となりますから、 A=2/Lです。 以上の補足でいかかでしょうか。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 また勉強させていただきます。

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  • 回答No.1

問1. 固有関数をシュレディンガー方程式に代入して、微分を実行すると、 H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)φ+Uφ=Eφ となる。 U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L より、 H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)=E となり、基底状態(a=1、b=1)では エネルギー固有値は E_0=H^2/(2m)(π/L)^2・・・(答) 問2. |φ|^2を0≦x≦L、0≦y≦L で積分した値が1になるように 規格化因子Aをとる。 |φ|^2を0≦x≦L、0≦y≦L で積分した値は、 (LA)^2/4でこれが1だから、 A=2/L・・・(答) たぶんこれでOK。

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質問者からの補足

解答ありがとうございます。 ただ、微分・積分が苦手なものですから、 お暇があれば途中経過も記入して頂くとありがたいです。 どうでしょうか?

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