• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

無限に深い井戸型ポテンシャルについて

「ブタジエンの炭素原子の配列を一直線と近似して、両端の炭素原子間の距離L=5.78Åとすると、4個の炭素原子が無限に深い井戸型ポテンシャルを形成していると考えるとき、ブタジエンの基底状態のエネルギーE1を求めよ。4個のΠ電子間の斥力は無視できて、各々が自由電子として振舞うとする。」 以上の様な問題を考えるときにおいて、 エネルギー固有値E= h'^2*Π^2*n^2 /2*m*Lに代入して求めると思うのですが、(h'=h/2Π m=静止した電子の質量) 計算する際にLについてのどのように考えれば良いかがわかりません。私はL/4orLor4Lいずれも計算してみたのですが、どうも合いません^^; どう解釈すれば良いと思われますか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

>En=n^2*9.17*10^-10 [nm]という形になりました。 えっと、何をどう間違えたらこうなるのか分かりませんが、Enはエネルギーなので、単位の時点で違いますよね。 >217nmよりも遥かに小さい数値で出て来たので、答えをみなせないとしてもOKかもしれませんが、もしかしたら私の問題解釈が違うのでは? ざっと見積もっただけですが、λは200nmくらいにはなるので、こんな簡単なモデルでも、ブタジエンが説明できるって事でしょう。 まぁ、「みなせない」って答えだと、そもそも、こんなモデルを考えるな、って話ですからね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

井戸の幅の見積りがおかしいのでは、、、 >両端の炭素原子間の距離L=5.78Å からC-C平均距離は5.78/4=1.445。両端のCからは距離1.445/2の結合手が出ているとするとL=5.78+1.445/2=7.225とおいてみたらどうでしょうか、自信はありませんが。。。 >エネルギー固有値E= h'^2*Π^2*n^2 /2*m*L 分母は2*m*L^2ではないでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

>計算する際にLについてのどのように考えれば良いかがわかりません。 長さLのブタジエンに閉じこめられていると考えるのですから、井戸の幅がLですね。 >私はL/4orLor4Lいずれも計算してみたのですが、どうも合いません^^; どういう計算をしてどういう結果になって、何と合わないのでしょう?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

説明が不足しているようで申し訳ありません><; 補足をすると、この問題には続きがあります。 「ブタジエンは217nmの電磁波を吸収する。これをn=2からn=3の励起として大幅にみなせるかを示せ。」とあります。 井戸の幅をLと考えた時、私はまず先の式に代入して En=n^2*9.17*10^-10 [nm]という形になりました。 その後でその結果を用いて、 E3-E2=hc/λより(h=プランク定数 c=光速 λ=波長) 波長を求めてみたのですが、217nmよりも遥かに小さい数値で出て来たので、答えをみなせないとしてもOKかもしれませんが、もしかしたら私の問題解釈が違うのでは?と疑問に思って質問させて頂きました。

関連するQ&A

  • 無限に深い井戸型ポテンシャルについて

    無限に深い井戸型ポテンシャルについて、GaNの層厚d=0.5nm、伝導帯電子の有効質量me=0.2m0の とき (1)基底状態、第一励起状態および第二励起状態のエネルギー固有値E1,E2,E3をeVの単位であらわすとどうなるのですか? (2)GaNの伝導帯の3次元状態密度および、この問題のような2次元の状態密度を計算した場合の状態密度とエネルギーの関係はどうなるのでしょうか? 自分で勉強してみたものの、無限に深い井戸型ポテンシャルだけは良くわかりません。どなたか教えていただけるとさいわいです。

  • 箱型(井戸型)ポテンシャル

    このような問題なのですが、教えて下さい。 問1 2次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中の粒子運動を考える。          2L│_       │ │        │ │       │_│__x         L                                     【H:エイチバーの意】   H^2π^2         ny^2            エネルギー固有値は E=――――――(nx^2+――――)                       2mL^2          4            (nx=1,2,3・・・)、(ny=1,2,3、・・・)        (1)基底状態のエネルギー固有地をH、π、m、Lで表せ。    (2)第4励起状態(5番目)のエネルギー固有値をH、π、m、Lで表し、      それを与えるnxとnyの組み合わせを全て求めよ。 問2 1次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中の粒子運動を考える。    エネルギー固有関数はφ(x)=√(2/L)・sin(nπx/L)である。    L=1.0×10^-10m として、第1励起状態にある粒子を、    x=0とx=0.25×10^-10mの間に観測する確率を計算せよ。

  • 井戸型ポテンシャルの外側のエネルギー固有値?

    無限に深い井戸型ポテンシャルの問題について質問です。 例えばポテンシャルが -L<=x<=L で0 その他がポテンシャル無限 とした時,井戸の外(x<=-L,L<=X)では波動関数は0となるのは理解できるのですが(ポテンシャル無限では粒子は存在できないから), このときのエネルギー固有値はどうなるんでしょうか? シュレーディンガー方程式を考えると (-h^2/2m∇^2+V)ψ=Eψ (V:ポテンシャル) で,ψ=0だから両片は恒等的に0ですよね? その場合エネルギー固有値って求まらないんでしょうか? (粒子が存在しないんだからエネルギー固有値だって0になるんじゃないかとも思うのですが...) よろしくお願いします。

  • 井戸型:シュレーディンガー

    井戸型ポテンシャルの問題です。 どうも数学的な計算が苦手なものでして・・・。 できれば詳しくお願い致します。 ポテンシャル U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L U(x,y)=∞、それ以外 無限に深い井戸型ポテンシャル内の粒子運動を考える。 井戸内でのシュレーディンガー方程式は 【エッチバー:H とする】 -H^2/2m{∂^2φ(x,y)/∂x^2 + ∂^2φ(x,y)/∂y^2}+U(x,y)φ(x,y)=Eφ(x,y) である。固有関数は φ(x,y)=A・sin(aπx/L)sin(bπx/L)、(a,b=1,2,3,・・・)とする。 問1 基底状態(a=1、b=1)のエネルギー固有値を計算せよ。 問2 基底状態の固有関数を用いて、規格化条件からAを求めよ。

  • 再び井戸型ポテンシャル…

    すみません、再びなのですが、今度は2次元井戸方ポテンシャル(0<x<L,V=0 x<0,x>L,V=∞)の問題で、固有エネルギーEiがEcより小さなすべての固有状態の数N(E)を求めよという問題なのですが、今度はN(E)が円の面積(Nx,Ny座標での)になっているというイメージがどうもよくわかりません…。なぜそうなるのでしょうか?教えていただけませんか?

  • 井戸型ポテンシャルについて

    1次元井戸方ポテンシャル(0<x<L,V=0 x<0,x>L,V=∞)の問題で、固有エネルギーEiがEcより小さなすべての固有状態の数N(E)を求めよという問題があるのです。が、調べたところ、これを解くためにはまずこの問題での固有エネルギーを出して、Ei<Ecを満たす最大のEiをEとして、n=N(E)として、エネルギー固有値の式から出せばいいみたいなのですが、これでは全てではなく、Ei=Eとなる時のnの値しか出ないような気がするのですが…。N(E)はEi<Ecを満たすnの総和じゃないのですか?どなたか教えてください。かなり困ってます。

  • 井戸型ポテンシャル(JJサクライ)

    JJサクライ下巻のp397(5.1.15) 摂動論ではないのですが、 さらりと触れられている箇所が納得できずにモヤモヤしています。 非常に弱い一次元の井戸型ポテンシャルを考えます。 V=-V0 (|x| < a) V=0 (|x| > a) λ>0 の引力に対して E = - (2ma^2)/h^2 |λV0|^2 というようなエネルギーの束縛状態がある。 (ここでhはh/2πの意味です) このエネルギーの式はどのように導いたのでしょうか。 単純な井戸型ポテンシャルでもなさそうですし、 トンネル効果と比較してもよく分かりません。 よろしくお願いします。

  • 三次元球面ポテンシャル

    球対称なポテンシャルを考える。半径 a まではポテンシャルがゼロ、それより大きなところでは無限大であるような球対称なポテンシャルとする。このなかに存在する質量 m の粒子の基底エネルギーと対応する波動関数を求めよ。 こんな問題をしているのですが、基底で球対称なので、一次元の井戸型ポテンシャルと同じ形になり、求める関数F(r)=Aexp(ikr)+Bexp(-ikr) : (k=√2mE/h) だということは予想できるのですが、そのあと何を考えていけばいいのでしょうか。 基底エネルギーと対応する波動関数はどのようにだすのでしょうか。 お願いいたします。

  • 三次元の井戸型ポテンシャルについて

    量子力学の質問です。 三次元の井戸型ポテンシャル(一辺Lの立方体)についてなのですが、 (I)箱の端の波動関数を0とする条件 つまりψ(L,y,z,)=ψ(x,L,z,)=ψ(x,y,L)=0 のとき (II)周期的境界条件を条件にした場合 つまりψ(x,y,z,)=ψ(x+L,y,z,)=ψ(x,y+L,z)=ψ(x,y,z+L) という条件のとき とでエネルギー固有値を求めました。 すると(I)は E=h^2/(8πm)・(π/L)^2・{(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2} ただしn_x,y,zは0を含まない自然数。 (II)は E=h^2/(8πm)・(2π/L)^2・{(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2} ただしn_x,y,z=0,±1,±2... となりました。明らかに(I)と(II)ではエネルギー固有値がちがってきます。 これはなぜなのでしょうか? このほかのフェルミ波数等は同じ値をとるのにエネルギー固有値だけちがうというのはいいのでしょうか?

  • 高さVのポテンシャル障壁をもつ一次元井戸型ポテンシャルの中を一つの電子

    高さVのポテンシャル障壁をもつ一次元井戸型ポテンシャルの中を一つの電子が運動している。 まず障壁の間隔がaだとする。それを瞬間的に2aまで広げた。 間隔を広げる前に基底状態あった電子が、広がった後の系の基底状態に見出だされる確率を求めよ。 この問題の解説をお願いします。厳密な答えは求めなくて結構です。