シュレディンガーの無限に深い井戸形ポテンシャルの問題
- シュレディンガーの無限に深い井戸形ポテンシャルの問題について質問です。計算方法についてわからない部分があります。
- φ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx) とおいて、φ(-1/2)φ(1/2) を代入すると ka=nπ となることがわかりますが、それ以降の計算方法がわかりません。
- （A+B）cos(ak/2) + (B-A)isin(ak/2) = 0 と（A+B）cos(ak/2) + (A-B)isin(ak/2) = 0 の式が得られると思いますが、これを解くと cos(ak/2) と sin(ak/2) が同時に 0 になってしまいます。どこで間違えたのでしょうか？
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シュレディンガー
無限に深い井戸形ポテンシャルの問題です。 とき方はわかるのですが、 計算がわかりません。 ｘが-1/2から1/2の時がポテンシャル０で あとは∞です。 φ（ｘ）＝Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)とおいて φ（-1/2）φ(1/2)と代入するとka=nπが出るようなのですが、そこがわかりません。 （A+B）cos(ak/2)+(B-A)isin(ak/2)=0 （A+B）cos(ak/2)+(A-B)isin(ak/2)=0 とでると思うのですが、これをとこうとするとcos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０になるようなことになってしまいました。 どこで間違えたのでしょうか？？？？？
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＞これをとこうとするとcos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０になるようなことになってしまいました。 ほとんど出来てると思います。ここから辺々足し算と引き算で （A+B）cos(ak/2)＝０ （A-B）sin(ak/2)＝０ が出たのではないですか？ この二つが両立する選択肢は３つ。わかりやすい最初の二つは (1) A+B=0 かつ A-B=0 (2) cos(ak/2)=0 かつ sin(ak/2)=0 ですが、(1)はA=B=0という意味のない解しかありません。 (2)は三角関数の性質からありえません。残ったのが答で、 (3) [A+B=0 かつ sin(ak/2)] または [A-B=0 かつ cos(ak/2)=0] 前者はsin(ak/2)が0になる条件からak/2=nπ=、つまり k = 2nπ/a 後者はcos(ak/2)が0になる条件からak/2=nπ+π/2=(2n+1)π/2、つまり k = (2n+1)π/a が出てきます。 >ka=nπが出るようなのですが、 k = 2nπ/aで2nをmと置き直すと、k=mπ/a (m=2,4,6,8,・・・・) k = (2n+1)π/aの(2n+1)をmと置き直すと、k=mπ/a (m=1,3,5,・・・・） これをまとめると k = mπ/a (m=1,2,3,4,5,・・・・・) となります。ただし波動関数は偶奇でサインとコサインが交代します。
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- heboiboro
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「AとBの片方だけなら0になってもよい」のです。しかしAとBが両方0だとするとφは恒零関数となってしまい、いわゆる「物理的に意味のない解」になってしまいます。 そこで、考え方としては、「AとBの少なくとも片方は0でない解が存在する条件」を考えます。 まず、ご提示の式を、（cos(ak/2)とsin(ak/2)に対する方程式ではなく）AとBに対する方程式だと思ってください。 AとBについて整理して改めて式を書けば、 exp(-iak/2)A + exp(iak/2)B = 0 exp(iak/2)A + exp(-iak/2)B = 0 となります。これはAとBに関する連立一次方程式です。 線形代数の知識を思い出していただくと、これがA=B=0以外の解を持つには、係数行列の行列式が0である必要があります。 つまり、exp(-iak/2)exp(-iak/2)-exp(iak/2)exp(iak/2)=0 すなわちexp(iak)=exp(-iak) すなわちexp(2iak)=1 これより、nを整数として 2ak=2nπ、つまりak=nπとなる必要があることが分かります。 ちなみにこのとき上の方程式を解くと、nが偶数のとき A=-B, nが奇数のとき A=Bとなります。
お礼
ありがとうございました。
>cos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０になる 中学程度の数学では「ともに０」にはなりません「cos(ak/2)=0あるいはsin(ak/2)=0」になりますが…。
お礼
上の方程式解くと、 AもBも０ではないのでcos(ak/2)とsin(ak/2)ともに０ということになりませんか？？ それとも計算が間違っているのでしょうか？？
- alwen25
- ベストアンサー率21% (272/1253)
φ（-1/2）=0 φ(1/2)=0 ですが。 波動関数は連続でなければなりません。
お礼
それはわかっています。 φに-1/2と1/2を代入して＝０の式を書いたのですが？？ そのあとexpiΘ＝cosΘ+isinΘ を使って２式をだしたのですよ。
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