事後確率（たけしのコマ大の問題）

質問

たけしのコマネチ大学数学科の問題で、５回に１回の割合で忘れ物をする人が４箇所A,B,C,Dを通って帰宅した時点で忘れ物を１つしたことに気がついた。Bに忘れ物をした確率は？というのがありました。
私は、Aで忘れ物をする確立もBで忘れ物をする確率も、CでもDでも同じ確率のはずなので、単純に４つの等確率の事象から１つを選ぶので 1/4　と計算しました。しかし番組では違う値が正解となってました。模範解答を見ましたが納得できません！！

模範解答では、「Bで忘れ物をした確率／１回どこかで忘れ物をした確率」で計算するのですが、Bで忘れ物をした確率を　4/5 x 1/5 としていました。考え方は理解できますが分子は、4/5 x 1/5　x 4/5 x 4/5 でないとおかしいのではないでしょうか？つまり、「Bで忘れ物をした」とは「Aで忘れ物をしない」かつ「Bで忘れ物をする」だけでなく、さらに「Cで忘れ物をしない」かつ「Dで忘れ物をしない」としないとおかしいと思います。模範解答の計算では、BとCで忘れ物をした確率も含んでしまうと思います。
同様に分母の「１回どこかで忘れ物をした確率」の計算も１－「１回も忘れ物をしないで帰宅した確率」ということで　１－ 4/5 x 4/5 ｘ　4/5 x 4/5　と計算してましたが、さらに「２箇所で忘れた確率、３箇所で忘れた確率、４箇所全部で忘れた確率」も引く必要があると思います。

回答No.8

aquarius_hiro · ベストアンサー

usatan2さん、こんにちは。

会話が込み入っていてあまり読んではいないのですが…。

> 「５回に１回の割合で忘れ物をする癖のある人がいます。
> A・B・C・Dの４箇所を回って家に帰ったとき、忘れ物をしたことに気がつきました。
> ２番目のBに忘れ物をした確率を求めなさい。ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」

この最後の条件を、「ただし忘れるおそれのある持ち物は一つだけでした。」という条件に置き換えると、まだ忘れ物をしたかどうかを調べていない段階で、

Aで忘れる確率 1/5 … (1)
Bで忘れる確率 4/5×1/5 （Aで忘れていないことが必要だから）…(2)
C 4/5×4/5×1/5 … (3)
D 4/5×4/5×4/5×1/5 … (4)
どこにも忘れない 4/5×4/5×4/5×4/5 … (5)

になりますね。忘れ物をしたことが判明した段階で、(5)がなくなるので、テレビの模範解答のように、

P = [4/5×1/5]/[1-4/5×4/5×4/5×4/5] …(6)

になります。逆に言うと、模範解答から逆算すると、

　　「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」
　＝「ただし忘れるおそれのある持ち物は一つだけでした。」

と解釈することが期待されていたように思われます。

しかし、この二つの条件は、本当は意味が違います。

テレビの問題文では、結果的に１箇所だけだったのか、それとも１箇所しか最初からありえなかったのかが曖昧であり、また持ち物の数はいくつだったのかが分かりません。

沢山持ち物があった場合には、持ち物がいくつであっても、０個になっていない限り、あくまでも回数で見て、「５回に１回の割合で忘れ物をする癖」なわけなので、

Aで忘れる確率 1/5
Bで忘れる確率 1/5 （Aで忘れていても、他のものを忘れるかもしれないから）
C 1/5
D 1/5

どこにも忘れない 4C0×(4/5)^4
1箇所で忘れる 4C1×(1/5)^1 (4/5)^3
2箇所で忘れる 4C2×(1/5)^2 (4/5)^2
3箇所で忘れる 4C3×(1/5)^3 (4/5)^1
4箇所で忘れる 4C4×(4/5)^4

後から「忘れ物をしたのは一箇所だけだった」と分かったので、Bで忘れ（他では忘れていない）確率は、

P = [(1/5)^1(4/5)^3]/[4C1×(1/5)^1 (4/5)^3] = 1/4 …(7)

になります。これはご質問のお答えに一致していますね。

もしも、「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」が、「ただし忘れ物をすることができるのは、どこか１箇所だけです。」であれば、これは「持ち物が一つ」と言っているのと同じことなので、(6)の確率が答えになりますが、「忘れ物をしたのは」と言っているのは、後から調べたらとも取れるので、大変曖昧な問題だと思います。

「ただし持ち物は４つ以上であり、また、忘れ物をしたのはどこか１箇所だけでした。」
　　⇒(7)
「ただし忘れ物をすることができるのは、どこか１箇所だけです。」
　　⇒(6)
「持ち物は一つだけでした。」
　　⇒(6)
「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」（テレビの問題の文章）
　　⇒悪文で持ち物の数も分からないので問題文の不備。

ということなのではないでしょうか。

単に出題者がミスをしたということ以外に、考えられる可能性の一つとしては、もしかしたら、「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」というのは、「受験算数」独特の言い回しで、「但し書き」は時間的な前後は度外視して大前提として解釈し、一番最初からその範囲内で問題のすべてを考えなさいということがあるのかもしれません。つまり、それを大前提にすると、そのようなことが最初から断定的に言えるためには、持ち物は1個だけだったと考えざるを得ないわけで、それで解答(6)を導かせたいのかもしれません。普通の感覚では、忘れ物は帰宅した時点で調べるものであり、最初の大前提として結果を持ってくるというのは、大変違和感があり気持ちのわるい文章だと思います。しかし、もしかしたら「受験算数」ではこういう言い回しをする習わしなのかもしれません。

考え方にミスがありましたらすみません。

お礼

回答ありがとうございます。

残念ながら、「事前確率では等しい２つの事象が、事後確率では異なる」ようなエレガントな問題だった訳ではなく、問題文が曖昧（不備）で「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです」の解釈により、模範解答にも私の回答にもなるということですね。