不等式の指導方法

質問

中学２年生に次のような不等式の問題を教える事になりました。

－２＜ａ＜４、－３＜ｂ＜６の時　２ａ－３ｂの範囲を求めなさい。

というものです。

私は答えの解法にものっている通り、
まず、２ａの範囲がいくつになるか求めるために－２と４にも二倍して・・・
などと教えていたのですが、生徒から『何で２ａにするのかわからない』と言われてしまい・・・。
求めたいのが２ａ－３ｂだからまず２ａの範囲を求めるんだよ。
っと言っても、最後には『この問題の意味がわからない』と・・・（涙）

どういって教えたらよいのでしょうか？

この生徒は私立の中学に行っており、平均よりは頭の良い子です。

どうか、ベテランの方など助けてください。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU

Ｐ＝２ａ－３ｂ　とする。
ａ，ｂは互いに独立だから、Ｐは多変数関数である。多変数関数の最大最小は原則として、変数を順次変化（文字を一個ずつ動かす）して求める。決勝法と呼んでいる参考書もある（大数）。小学生にもわかるように例えると、ある学校で１００メートル走の選手を選抜するのに、まず各クラス毎に１番早い生徒を選抜し、ついでその中から学年毎に一番早い生徒を選抜し、最後に全学年から選ばれた６人の中からもっとも早い１人を選抜する方法。
この問題にどう応用するかというと、いきなり２ａ－３ｂの最大最小を求めるのではなく、ａ，ｂのどちらか一方を固定して、一方だけ動かし、最終的に残ったもう一方を動かしてＰの最大最小を決定する。

＜解＞
文字の固定順位は
１．次数最大の文字を固定
２．係数最大の文字を固定
３．どの文字も対等ならどれでもよいから固定する
である。（こうすると計算が簡単になるから）

Ｐ＝２ａ－３ｂ
⇔ｂ＝（２ａ－Ｐ）／３　…（１）
－３＜ｂ＜６に（１）式を代入して、
－３＜（２ａ－Ｐ）／３　＜６
⇔－９＜２ａ－Ｐ＜１８　　
⇔２ａ－１８＜Ｐ＜２ａ＋９　　…（１）’（第一段階選抜。ｂを動かしきった→ｂは消滅）
⇔－９＋Ｐ＜２ａ＜１８＋Ｐ　　…（１）”（次の第二段階選抜のための式変形。特別な意味はない）　　
－２＜ａ＜４
⇔－４＜２ａ＜８　
⇔－８＜－２ａ＜４　　　　…（２）　（わざわざこの形にしたのは次でわかる。これも特別な意味はない）

（１）’式と（２）式より、　（不等式の当たり前の関係を使って、ａを消滅させるような変形をする）
－９＋Ｐ－８＜２ａ－２ａ＜１８＋Ｐ＋４　　（ａ＜ｂかつｃ＜ｄ　ならば　ａ＋ｃ＜ｂ＋ｄを使った）
⇔－１７＋Ｐ＜０＜２２＋Ｐ
⇔－２２＜Ｐ＜１７　　　　　　（第二段階選抜。ａを動かしきった→ａは消滅）

以上！と言いたいがこれじゃ難しすぎる。もっと簡単にな方法はなかろうか。実は原則があれば例外もある。例外はａ，ｂを同時に動かす方法である。先の決勝法とは違い、全校生徒が一斉に横一列に並んで１００メートルを走るのである。その異様さは筆舌しがたい。まさに例外な方法。線形計画法もこの一種である。おそらくこちらがおたくの塾の解法なんでしょうね。

－２＜ａ＜４　かつ　－３＜ｂ＜６
⇔－４＜２ａ＜８　かつ　－１８＜－３ｂ＜９　　（与式をただ変形しただけ。特別な意味はないよ）
よって、
－４－１８＜２ａ－３ｂ＜８＋９　　　　（不等式の当たり前の関係を使っていきなり求める）
⇔－２２＜２ａ－３ｂ＜１７

まあ、中学生だから簡単な解法だけを教えるのは仕方がないが、基本となる考え方は教えてあげて欲しい。高校に入ってから困らないように。