不等式の指導方法

質問

中学２年生に次のような不等式の問題を教える事になりました。

－２＜ａ＜４、－３＜ｂ＜６の時　２ａ－３ｂの範囲を求めなさい。

というものです。

私は答えの解法にものっている通り、
まず、２ａの範囲がいくつになるか求めるために－２と４にも二倍して・・・
などと教えていたのですが、生徒から『何で２ａにするのかわからない』と言われてしまい・・・。
求めたいのが２ａ－３ｂだからまず２ａの範囲を求めるんだよ。
っと言っても、最後には『この問題の意味がわからない』と・・・（涙）

どういって教えたらよいのでしょうか？

この生徒は私立の中学に行っており、平均よりは頭の良い子です。

どうか、ベテランの方など助けてください。

回答No.6

KaitoTVGAMEKOZOU

本質的なことを書かなければダメみたいね。Ｐの最大最小を求めよとかＰの値の範囲を求めよとかの問題は解法が３種類しかない。まず、Ｐ＝f(Ｑ)と表し、Ｑを直接動かして（すべてのＱについてくまなく調べて）Ｐの値の範囲を求める方法がある。大数では「自然流」といい、私は「順像法」と呼んでいる。もう一つの方法は、Ｑ＝f^-1(Ｐ)と表して、Ｑの存在条件からＰの存在条件を導き出す方法で、大数では「逆手流」、私は「逆像法」と呼んでいる。最後の方法は特種な絶対不等式を使う方法である。

NO5の解は逆像法でしかやっていない。これは迂闊だった。逆像法は考え方がやや素直でないので慣れない人には難しく感じてしまうものだ。だから順像法の解も載せておきます。

＜解＞
文字を動かす基本は
１．数値代入
２．平方完成
３．微分
である。
１は一次関数に特に有効で、平方完成や微分で頂点の座標や極地の座標を求める時にも「数値代入」を行なっている。つまりもっとも基本的な方法なのだ。

Ｐ＝２ａ－３ｂ　　（－２＜ａ＜４、－３＜ｂ＜６）
ａ，ｂは互いに独立。よって、ａを固定すると、Ｐは傾き－３，切片２ａの直線を表すので、－３＜ｂ＜６ではｂ＝－３のとき最大値をとり、ｂ＝６で最小値をとる。（中２だから一次関数は終わっているはず）
∴maxＰ＝２ａ＋９，minＰ＝２ａ－１８　　　（ｂを動かしきった→ｂは消滅）

maxＰ＝２ａ＋９は、傾き２切片９の直線だから、ｘ＝４で最大値をとる。
よって、max（maxＰ)＝１７
minＰ＝２ａ－１８は、傾き２切片－１８の直線だから、ｘ＝－２で最小値をとる。
よって、min(minＰ)＝－２２
∴－２２＜Ｐ＜１７　　　　　　（ａを動かしきった→ａは消滅）

＜解説＞
大小関係の発見は視覚的に行なわなければ難しい。その意味では順像法が逆像法より優れているのだが、逆像法の方が計算がコンパクトになることが多いので学ぶ必要があるのだ。こういうことは勉強していればわかる。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。

中学生にはちょっと難しい話でしたので、KaitoTVGAMEKOZOUさんの回答は私自身の勉強とさせていただきます。

生徒には今日、何とか理解してもらいました。
回答してくださった皆さん、本当にありがとうございました。