不等式の指導方法

質問

中学２年生に次のような不等式の問題を教える事になりました。

－２＜ａ＜４、－３＜ｂ＜６の時　２ａ－３ｂの範囲を求めなさい。

というものです。

私は答えの解法にものっている通り、
まず、２ａの範囲がいくつになるか求めるために－２と４にも二倍して・・・
などと教えていたのですが、生徒から『何で２ａにするのかわからない』と言われてしまい・・・。
求めたいのが２ａ－３ｂだからまず２ａの範囲を求めるんだよ。
っと言っても、最後には『この問題の意味がわからない』と・・・（涙）

どういって教えたらよいのでしょうか？

この生徒は私立の中学に行っており、平均よりは頭の良い子です。

どうか、ベテランの方など助けてください。

回答No.1

yasu31 · ベストアンサー

生徒と言うのはａという記号がなぜ数字に変わるのか？が疑問に思うのです。
そこで　－２＜ａ＜４ならば等号、不等号は分かるのが前提としａに何が入るか
上げてみれば良いのです。整数のみの条件があるとしたら　ａ　は　－１、０、１２、３と具体的に出すのです。ｂのほうも同じく　－２、－１、０、１、２、３、
４，５と出すのです。それで　各数字を入れて２ａ－３ｂの回答が何通りか出るのでその中から最小と最大を探せば答えが出ると思いますが。
このようなやり方ではいかかでしょうか？

回答No.6

KaitoTVGAMEKOZOU

本質的なことを書かなければダメみたいね。Ｐの最大最小を求めよとかＰの値の範囲を求めよとかの問題は解法が３種類しかない。まず、Ｐ＝f(Ｑ)と表し、Ｑを直接動かして（すべてのＱについてくまなく調べて）Ｐの値の範囲を求める方法がある。大数では「自然流」といい、私は「順像法」と呼んでいる。もう一つの方法は、Ｑ＝f^-1(Ｐ)と表して、Ｑの存在条件からＰの存在条件を導き出す方法で、大数では「逆手流」、私は「逆像法」と呼んでいる。最後の方法は特種な絶対不等式を使う方法である。

NO5の解は逆像法でしかやっていない。これは迂闊だった。逆像法は考え方がやや素直でないので慣れない人には難しく感じてしまうものだ。だから順像法の解も載せておきます。

＜解＞
文字を動かす基本は
１．数値代入
２．平方完成
３．微分
である。
１は一次関数に特に有効で、平方完成や微分で頂点の座標や極地の座標を求める時にも「数値代入」を行なっている。つまりもっとも基本的な方法なのだ。

Ｐ＝２ａ－３ｂ　　（－２＜ａ＜４、－３＜ｂ＜６）
ａ，ｂは互いに独立。よって、ａを固定すると、Ｐは傾き－３，切片２ａの直線を表すので、－３＜ｂ＜６ではｂ＝－３のとき最大値をとり、ｂ＝６で最小値をとる。（中２だから一次関数は終わっているはず）
∴maxＰ＝２ａ＋９，minＰ＝２ａ－１８　　　（ｂを動かしきった→ｂは消滅）

maxＰ＝２ａ＋９は、傾き２切片９の直線だから、ｘ＝４で最大値をとる。
よって、max（maxＰ)＝１７
minＰ＝２ａ－１８は、傾き２切片－１８の直線だから、ｘ＝－２で最小値をとる。
よって、min(minＰ)＝－２２
∴－２２＜Ｐ＜１７　　　　　　（ａを動かしきった→ａは消滅）

＜解説＞
大小関係の発見は視覚的に行なわなければ難しい。その意味では順像法が逆像法より優れているのだが、逆像法の方が計算がコンパクトになることが多いので学ぶ必要があるのだ。こういうことは勉強していればわかる。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。

中学生にはちょっと難しい話でしたので、KaitoTVGAMEKOZOUさんの回答は私自身の勉強とさせていただきます。

生徒には今日、何とか理解してもらいました。
回答してくださった皆さん、本当にありがとうございました。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU

Ｐ＝２ａ－３ｂ　とする。
ａ，ｂは互いに独立だから、Ｐは多変数関数である。多変数関数の最大最小は原則として、変数を順次変化（文字を一個ずつ動かす）して求める。決勝法と呼んでいる参考書もある（大数）。小学生にもわかるように例えると、ある学校で１００メートル走の選手を選抜するのに、まず各クラス毎に１番早い生徒を選抜し、ついでその中から学年毎に一番早い生徒を選抜し、最後に全学年から選ばれた６人の中からもっとも早い１人を選抜する方法。
この問題にどう応用するかというと、いきなり２ａ－３ｂの最大最小を求めるのではなく、ａ，ｂのどちらか一方を固定して、一方だけ動かし、最終的に残ったもう一方を動かしてＰの最大最小を決定する。

＜解＞
文字の固定順位は
１．次数最大の文字を固定
２．係数最大の文字を固定
３．どの文字も対等ならどれでもよいから固定する
である。（こうすると計算が簡単になるから）

Ｐ＝２ａ－３ｂ
⇔ｂ＝（２ａ－Ｐ）／３　…（１）
－３＜ｂ＜６に（１）式を代入して、
－３＜（２ａ－Ｐ）／３　＜６
⇔－９＜２ａ－Ｐ＜１８　　
⇔２ａ－１８＜Ｐ＜２ａ＋９　　…（１）’（第一段階選抜。ｂを動かしきった→ｂは消滅）
⇔－９＋Ｐ＜２ａ＜１８＋Ｐ　　…（１）”（次の第二段階選抜のための式変形。特別な意味はない）　　
－２＜ａ＜４
⇔－４＜２ａ＜８　
⇔－８＜－２ａ＜４　　　　…（２）　（わざわざこの形にしたのは次でわかる。これも特別な意味はない）

（１）’式と（２）式より、　（不等式の当たり前の関係を使って、ａを消滅させるような変形をする）
－９＋Ｐ－８＜２ａ－２ａ＜１８＋Ｐ＋４　　（ａ＜ｂかつｃ＜ｄ　ならば　ａ＋ｃ＜ｂ＋ｄを使った）
⇔－１７＋Ｐ＜０＜２２＋Ｐ
⇔－２２＜Ｐ＜１７　　　　　　（第二段階選抜。ａを動かしきった→ａは消滅）

以上！と言いたいがこれじゃ難しすぎる。もっと簡単にな方法はなかろうか。実は原則があれば例外もある。例外はａ，ｂを同時に動かす方法である。先の決勝法とは違い、全校生徒が一斉に横一列に並んで１００メートルを走るのである。その異様さは筆舌しがたい。まさに例外な方法。線形計画法もこの一種である。おそらくこちらがおたくの塾の解法なんでしょうね。

－２＜ａ＜４　かつ　－３＜ｂ＜６
⇔－４＜２ａ＜８　かつ　－１８＜－３ｂ＜９　　（与式をただ変形しただけ。特別な意味はないよ）
よって、
－４－１８＜２ａ－３ｂ＜８＋９　　　　（不等式の当たり前の関係を使っていきなり求める）
⇔－２２＜２ａ－３ｂ＜１７

まあ、中学生だから簡単な解法だけを教えるのは仕方がないが、基本となる考え方は教えてあげて欲しい。高校に入ってから困らないように。

回答No.4

kissmyknife

イメージ的なもので考えたいです。例えば　トマトの値段は毎日変わりその値段は
￥１００から￥１５０の範囲である。同様にレタスも￥７０から￥１２０だとします。
　では２個のトマトと３個のレタスを買うときお金はいくらになるか？という質問をしたらどうでしょう。１番安いときと１番高いときのイメージはわかるのではないでしょうか？
　これを応用してみてください

補足

皆さん回答ありがとうございました。

皆さんのアドバイスをふまえて再び解説したのですが、またもや『わからない』と言われてしまいました・・。
本人もわからないことで頭が混乱して、泣きそうな顔になっていました。（説明しているこっちが泣きそうでした・・。）

皆さんが教えてくださった説明以上にわかりやすい解説はないと思うんですけどねー。
どうしたらいいものかお手上げです（泣）

回答No.3

I-love-manabee

数直線を書いてあげればいいと思うのですが・・
そうすれば、頭の中でイメージがわくと思います。

回答No.2

kony0

とりあえず「多項式」「項」について教えてあげてはどうですか？
式を扱う上で、なくてはならない概念だと（私は）思っています。