確率の問題です

質問

abcの箱三つがあります。一つだけにアタリがあります。
あなたはaの箱を選択しました。まだ開けてません。
アタリを知っている人がcの箱を開け、そこは空っぽであるのを示しました。
さらにその人は「aの箱でいいですか？bに変更してもいいですよ」と言いました。
変えたほう、変えないほう、どちらががあたりやすいでしょうか？

周りの数学が得意な方にも質問してみてはいかかでしょうか。
ちなみに、変更しなくても1/2だからどっちでも同じだと思った方は書き込みをご遠慮ください。

回答No.14

ixyancc82

「どっちも５０パーじゃないか！」
と騙された一人ですｗ

なんか皆さん詳しいですね・・・
質問者さんはもう理解してると思いますが。

no.8さんの解答が分かりやすいです！

私は、箱の数を多くして答える方法で納得しました。

極端に１兆個の箱があるとして、１番目を選びます。
他の９９９９億９９９９万９９８個の箱を削ります。
さてあなたは、よほど自分を信じない限り１番目は選びませんよね？

つまり問題を変えれば
９９９９億９９９９万９９９９個と１個
の箱では、どちらに当たりが入ってるでしょう？

これで完璧！
だと思います。

回答No.13

kumipapa

#12さん、#11さん、ありがとうございました。
完璧理解しました。

#12さん、私もルールを変えたらやっぱり確率が変わっちゃうよなー、と思っていたので、かなりすっきりしました。

aがアタリである確率は1/3であり、b+cにアタリがある確率は2/3である。
しかるに、cがハズレであることが示された。
が、この時点でも、b+cにアタリがある確率は依然として2/3のままである。
従って、bがアタリである確率は2/3

故に、最初と最後を比較して、あなたはaからbへと選択を変えた方が良い。

ということですね。

回答No.12

noname#47975

#10さんへ

>標本空間は｛ω100,ω010,ω001｝で、３つの事象はどれが起きるのも同様に確からしいとすべきですよね。
だから、a、b、ｃがアタリである確率はそれぞれ1/3。これが最初の状態。
で、ｃがハズレであることが示されると、その時点で標本空間は｛ω100,ω010｝に縮小されて、この縮小標本空間で確率は決まるので、aがアタリである確率は1/2。ｃがハズレという条件の元でのａがアタリであるという条件付確率Ｐ（a="アタリ"|c="ハズレ")を考えた事に他ならないわけですが、おかしいかな

確かに、a,b,cの中から無作為もしくは意図的に１つハズレが選び出されたという前提に乗っ取ってｃが空である事が示されたというのであれば、その主張には誤りはないと思われます。

ですが実際には、

(1)aが当たりであれば、1/2の確率でcが選びだされ、ハズレであると示れれる。
(2)bが当たりであれば、1の確率でcが選び出され、ハズレであると示される。
(3)cが当たりであれば、0の確率でｃが選びだされる。すなわち選ばれない。

という前提がかかっていると見なせるわけです。
こうした前提下での、P(a=当たり｜cが選び出された）,P(b=当たり｜ｃが選び出された）を求める事が本題です。

>本当はあなたが既に選んだａをハズレとして選んでも良かったけど、ルール上しなかっただけと考えるべきだと思いますね。そういう意味では、（２）の場合も、本来はｃが選ばれる確率は1/6と考えるべきだと思う。

ちょっと意味不明です．．。ルールがなければしたかもしれない行為を考慮するなどについては数学での確率論としては対象外だと思われます。というよりも、これは確率論から大きく逸脱しており、単なる個人的主観論になってくるのではないでしょうか？

最後になりましたが、これはモンティホール問題と呼ばれるもので、wikiにも詳細について載せられています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

回答No.11

Quattro99

実際に試行してみたときのことを考えるとわかりやすいかも知れません。

aがアタリであるのは3回に1回です。説明しやすくするために6回に2回とします。

aを選んだとき、
6回に1回は、aがアタリでbが開けられる。
6回に1回は、aがアタリでcが開けられる。
6回に2回は、bがアタリでcが開けられる。
6回に2回は、cがアタリでbが開けられる。

このうち、cが開けられるのは3回で、その中でaがアタリなのは1回です。
つまり、aを選び、アタリを知っている人がcを開けた場合、aがアタリである確率は1/3です。

aがアタリの時はcが開けられる確率が1/2であるのに対し、bがアタリの時cが開けられる確率は1であるため、cが開けられたときにaがアタリなのかbがアタリなのかの確率に違いが生じています。

確率計算では、aを選んだとき、
aがアタリでcが開けられる確率は(1/3)*(1/2)=1/6
bがアタリでcが開けられる確率は(1/3)*1=1/3
cがアタリでcが開けられる確率は(1/3)*0=0
ですから、aを選んだあとcが開けられたときaがアタリである確率は、(1/6)/{(1/6)+(1/3)}=1/3となるのではないかと思います。

回答No.10

kumipapa

うーん・・・#７です。

a,b,cの箱のうちアタリは一つだけってことは、
ω100　　aがアタリでb,cはハズレ
ω010　　bがアタリでa,cはハズレ
ω001　　cがアタリでa,bはハズレ
というように事象を表すと、標本空間は｛ω100,ω010,ω001｝で、３つの事象はどれが起きるのも同様に確からしいとすべきですよね。
だから、a、b、ｃがアタリである確率はそれぞれ1/3。これが最初の状態。
で、ｃがハズレであることが示されると、その時点で標本空間は｛ω100,ω010｝に縮小されて、この縮小標本空間で確率は決まるので、aがアタリである確率は1/2。ｃがハズレという条件の元でのａがアタリであるという条件付確率Ｐ（a="アタリ"|c="ハズレ")を考えた事に他ならないわけですが、おかしいかな？

で、ａがあなたに選ばれた上で、ｃがハズレとして選ばれる確率も考えてみたのですが・・・

（１）ａがアタリの場合は、b,cのどちらが選ばれても良いから、ｃが選ばれる確率は、ａがアタリでかつｃが選ばれる確率であって1/3×1/2=1/6
（２）ｂがアタリの場合は、cしか選べないとして、ｂがアタリでかつｃを選ぶという確率を考えると1/3×1=1/3
（３）ｃがアタリの場合は、ｃは選べないので、ｃがアタリでかつｃを選ぶという確率は０．

（１）と（２）を直接比べてみると、（２）の確率が（１）の２倍になっているのですが、これはあくまでも（１）の場合よりも（２）の場合の方が「ｃが選ばれる確率」が高いだけで、だからといってｂがアタリである確率がａより高いと考えるのは、論理が飛躍しているような気がします。やはり、（２）の場合は、ｃが選ばれるのは選択肢が無いからやむなくｃが選ばれるのであって、本当はあなたが既に選んだａをハズレとして選んでも良かったけど、ルール上しなかっただけと考えるべきだと思いますね。そういう意味では、（２）の場合も、本来はｃが選ばれる確率は1/6と考えるべきだと思う。
ちなみに、ａがすでにあなたに選ばれた上でｃがハズレとして示される確率は（１）、（２）、（３）を足して得られるはずなので1/6+1/3=1/2で、故にｂが選ばれる確率も1/2。結局、残った２つの箱b,cから無作為に１個選ぶのと変わらない。ってことは・・・、ｃが意図的に選ばれたってことを気にする必要は無いのでは？
この考え方、どこか間違ってます？

（って、回答者が聞いちゃいけないって事も無いですよね）

回答No.9

noname#47975

ｃの箱をあけて空である事を示された時、

（bの箱が当たりである確率）＝（aの箱が外れである確率）
となります。

aの箱が外れである確率は最初から２／３であり、
b,cのうちいずれかの箱が外れであると示されようが、
aの箱における当たり外れの確率には何ら影響はないという
事です。

つまり、ｂ、ｃのうち少なくとも一方が外れである事が最初から分かっている中で、ｃが外れであると示されただけで、aには何ら関係のない事です。

なお、bが当たりである確率が変わる要因としては、{b,c}の中から、ｂが外れであれば、bも選ばれる可能性もあった中で、ｂを避けてｃが選ばれ空けられた。
だが、それは必然かもしれないし、単なる偶然かもしれません．．。
必然的に選ばれなかった可能性などを考えると、ｂの当たる確率が大きくなるのは当然の事だといえます。

具体的に説明すると、(b,c)=(外れ、外れ）ならば１／２の確率で、ｃの箱が開けられ、(b,c)=(当たり、外れ）ならば１の確率で、cの箱が開けられる。よって、(b,c)=(当たり、外れ）のケースでｃが空けられる事象は、
(b,c)=(外れ、外れ）のケースでｃが開けられる事象よりも２倍起こりやすいという事が言えます。なので、(b,c)=(当たり、外れ）の可能性の方が高くなるわけです。

回答No.8

Quattro99

「3つの箱を1つと2つに分け、そのどちらかを選ぶ。2つの方を選んだ場合は、アタリを知っている人がハズレの箱を除いてくれる。」というのと同じです。

回答No.7

kumipapa

＞　変更しなくても1/2だからどっちでも同じだと思った方は書き込みをご遠慮ください
とのことですが、なんとなく1/2ではないというのが大勢を占めそうなので・・・。

あなたはａを選んだ。
その人はｃがハズレであることを示した。
あたりはａかｂだから、ａがあたりである確率は1/2。

その人が取りうる行動の場合の数からも、やはり確率は1/2とすべきだと思う。
ａがアタリだった場合、その人はｂかｃのどちらを空けてもよかったから、その人が取りえた行動の場合の数は２。ｂを選ぶか、ｃを選ぶかはコインでも投げて決めたに違いない。
ｂがアタリだった場合、その人は、たまたまあなたがａを選んでしまっていたから、（遠慮して？）その人がａを選ぶという行動を取らなかっただけだと考えるべき。本当はａかｃのどちらを選んでもよかったわけで、やはり、コインを投げてｃを選ぶことに決めたと考えるべきだと思う。だから、ｂがアタリだった場合も、「ハズレを示す」というその人の取りえた行動の場合の数は２であると考えるべき。
ｃがアタリだった場合は考えない。何故なら、ｃがハズレであるということは明らかだから。

ということで、ａがアタリの時、ｂがアタリの時ともに、その人が取れる行動の場合の数は２だったわけで、ａ，ｂどちらも同様にアタリらしいというべきだと思う。
ということで、ａがアタリである確率は1/2。

補足

見過ごすつもりが真剣に見入ってしまいました(笑)

数学が御得意なようで説得力にあふれてますね。
作問者に新たな解答として提示してもよろしいのではないでしょうか(笑)

＞その人はｂかｃのどちらを空けてもよかったから、その人が取りえた行動の場合の数は２。ｂを選ぶか、ｃを選ぶかはコインでも投げて決めたに違いない。

＞本当はａかｃのどちらを選んでもよかったわけで、やはり、コインを投げてｃを選ぶことに決めたと考えるべきだと思う。

ここは、aを選択したのちにcを開けたという前提が崩れませんか？

と思ってたらan3に、「cを選んだら、ハズレのbを開ける」と書いてあり、私の中の前提があやふやに(笑)
自分の選択した箱以外を開けてはいけない、とは述べられてない為、aを開けてもよかった気がしますね。
aを開けた後、bcの中から選択してもよいと解釈されてもおかしくありませんね。

回答No.6

tinantum

ANo.5です．

回答中の

まずよくある誤解偏

というのは無視してください．
（よくある誤解の回答をまず書こうかと思いましたが，途中で面倒くさくなってやめてしまいました．．）

回答No.5

tinantum

高校生でしょうか？
高校生にわかるように場合の数で説明してみます．

まずよくある誤解偏：『aの箱を選択した』として，全場合の数を樹形図で考えて見てください．
(1)まず，当たりが入っている箱がaかbかcかの3通り枝が伸びます．
-a
-b
-c
(2)あたりを知っている人は，aの場合（aに当たりが入っている）ので，"bかcのどちら"を選んで空っぽであることを見せてあげてもよいはずです．bの場合は，(bに当たりが入っている)ので，"確実に"cの箱を空けてみせるはずで，cの場合は同様に"確実に"bの箱を空けてみせるはずです．これを樹形図に書き加えると
-a-b
　 -c
-b-c
　 -c
-c-b
　 -b
となります（2番目は空っぽであることを見せる箱）．ここで注意しなくてはならないことは，場合の数で確率を考える場合，根本事象は「同様に確からしいとき」を一つの場合としてカウントすることを忘れてはいけないので，1番目がbとcの場合，2番目の樹形図は2つ書き加える必要があります．なぜならば，一番目がaの場合は，あたりを知っている人は「確率1/2でｂ，ｃを空けてみせる」のに対し，一番目がb（もしくはc）の場合「確率１でc（もしくはb）を空けてみせる」からです．

『変更しない場合』最後の枝としては選んだ箱を書聞くわえました．今の場合『aの箱を選んだ』としていたので，変えないのでどの場合もaです：
-a-b-a
　 -c-a
-b-c-a
　 -c-a
-c-b-a
　 -b-a
全事象が６つであり，当たるのは上の二つですから，確率は
1/3です（もっともこれは当たりを知っている人の情報の影響を全く受けない場合ですから，始めから1/3とわかりますが）．

『変更する場合』最後の樹形図に変更する箱を書き加えると：
-a-b-c
　 -c-b
-b-c-b
　 -c-b
-c-b-c
　 -b-c
となって，全事象6つのうち，当たる事象は下4つですから，
2/3と確率が上がります．

場合の数で説明するとどうしても上のようなものになりますが，条件付確率などの知識をお持ちでしたら，もう少し正確に求める方法をお教えできます．ただし本質的な点では上の説明で十分だと思います．

いずれにしても，「同様に確からしい」か否かをちゃんと考えずに確率を考えると間違った確率を求めてしまいます．
一番簡単な誤りでは「コインの表が出る確率は，全事象が裏か表かの2通りで，表が出るのは1通りだから，1/2である」という考え方です．ゆがんだコインの場合（裏と表が同様に確からしくなく），1/2とはなりません．

もっと巧みで上の問題に似ているのは囚人の問題です．これも考えてみると良いでしょう：

3人の囚人A,B,Cがいます．次の日3人のうち2人が死刑になることが決まっています．

Aは考えました．

A:「俺も明日死ぬかもしれないなあ．3人のうち2人だから，俺が死ぬ確率は2/3だな・・」
監視員はどの2人が死刑になるかは知っています．
Aは監視員に誰が死ぬか聞いてみましたが，絶対に教えられないといわれました．そこで，
A:「監視員さん，BかCかのどちらか一人は死刑になるわけだから，どちらか死ぬほうを教えてくれよ，俺のことは言わなくてもいいからさあ．」
と頼んでみました．監視員は少し考えて
監視員「よいだろう，Cは確実に死刑になるよ」
と教えました．Aはこの情報を得て大変喜びました．なぜならば，Aは
A:「ということは，明日死刑になるのは，俺かBかの2通りだから，俺の死ぬ確率は1/2に減ったぞ！」
と．

さて，Aの喜びは正しいでしょうか？

答えを言うと，これは上記の当たり箱の問題に反して，確率はもとのまま2/3で変わらないというのが答えになります．ぜひ考えてみてください．

お礼

細かい説明と用例ありがとうございます。
理解が深まりました。
もう少し簡潔さがあった方がうれしかったです。