確率の問題で意味がわかりません

質問

同じ形の赤球3個と白玉5個の入った箱Xと、同じ形の赤球2個と白玉6個が入った箱Yがある。
確率1/3で箱Xを、また確率2/3で箱Yを選択し、その箱の中から1つだけ球を取り出す施行を行った結果、その球が赤玉であった。このとき、選択した箱がXであった確率を求めよ。

という問題なのですが
この問題は

事象A:赤球を取り出す
事象B:箱Xを選択する

とおいて

P(A∧B) /　P(A) を計算して　　解を求めますが

これは「赤球を取り出したという条件の下に箱Xを選択する確率」ですよね？

でもまず箱を選択しないと球を取り出せないのに順序が逆ではないんですか？
この確率の意味がわかりません。

試し「箱Xを選択したという条件の下に赤球を選択する確率」を求めたところ
「赤球を取り出したという条件の下に箱Xを選択する確率」と解が違いました。

同じものと思うのですが・・・
なにが違うのでしょうか？

数学Aの問題です。

回答No.4

alice_44

「条件の下に箱Xを選択する確率」と考えるから、混乱するのです。
要求されているのは、「赤球を取り出したという条件の下に
選択していた箱が実は箱Xだった確率」です。

時間の順番を気にする必要はありません。
例えば、これが、取り出した球はどうでもよくて、
どの箱を選択したかで当り外れがある福引きだったら？
赤球を見た時点で「私が当たってる確率は？」と考える
ことができますね。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

この操作を多数回行って、箱の選択と玉の色を全て
記録したとしましょう。全体を N 回とすると

赤球3個と白玉5個の箱が選択されている記録の数はおよそ N x 1/3
赤球2個と白玉6個の箱が選択されている記録の数はおよそは N x 2/3

記録の中から 玉の色が赤の場合のみを選ぶと

赤球3個と白玉5個の箱が選択されている記録の数はおよそ N x 3/24
赤球2個と白玉6個の箱が選択されている記録の数はおよそは N x 4/24

この　3/24, 4/24がおそらく質問者さんの確率です。

選んだ記録の「中での」、各箱の選択の割合は
赤球3個と白玉5個の箱 (N x 3/24) / (N x 7/24) = 3/7
赤球2個と白玉6個の箱 (N x 4/24) / (N x 7/24) = 4/7

これが問題が求めている確率です。

つまり、多数回の試行の結果の中から特定の条件に合う試行の結果の一群を選んだ場合、
その中である条件が成立している割合(確率)を表します。これを条件付確率といいます。

こう考えれば操作の順序に悩まないですむと思いますがいかがでしょう？
私は確率を考えていてこんがらがったときは、大量の試行に対する統計(大数の法則)に
立ち戻るようにしています。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

「赤球を取り出す」という操作では、
確かに「箱を選んで→球を取り出す」という順番になります。

少し状況を変えてみて、次のようにしたらどうでしょうか？

太郎さんが箱XとYのどちらかを選び、その箱から球を取り出して、
花子さんに見せたところ、それは赤球でした。

取り出した箱を当てれば得点が入るとします。
花子さんはどちらの箱にかける方が有理でしょうか？
（花子さんにはどちらの箱を選んだかは見えないようにしています）

もっと具体的な例としては、
病気の診断結果とその病気にかかっている確率の計算で使うことがあります。
「統計的に求められているその病気にかかる人の確率と診断結果の精度（確率）から
陽性と判定された人が本当にかかっている確率を計算する。」という問題です。
（入試問題でもこのようなものが出題されています）

ちょっとややこしいですが、ベン図を描くなどしてじっくり考えてみてください。

回答No.1

k14i12d

箱を先に決めて赤を選択する確率は、yの赤が選択される確率が考慮に入れられていません。
ところが、赤を知って、どちらの箱が選択されたかを考える場合は、yの赤が選択された可能性も考慮に入れなければなりません。
そのせいで、違いがうまれるのです。

有名な問題ですね。
確か元ネタはタクシー会社が事故を起こした確率、だったと思います。
こちらのほうがより複雑にはなりますが。
具体的には、「タクシー会社 事故 確率」でググって下さい。